Dwunastościan rombowy 200px|Dwunastościan rombowy(Kliknij, aby zobaczyć animowany model) Typ Wielościan Catalana Ściana romb Liczba ścian 12 Liczba krawędzi 24 Liczba wierzchołków 14 = 6 + 8 Wielościan dualny Sześcio-ośmiościan Dwunastościan rombowy – wielościan mający 12 ścian, 14 wierzchołków i 24 krawędzie. Wszystkie ściany są przystającymi rombami, w których stosunek długości przekątnych jest równy skąd wynika, że kąt ostry każdej ściany jest równy
W każdym wierzchołku wielościanu spotykają się 3 lub 4 ściany. W ośmiu wierzchołkach stykają się kątami rozwartymi 3 romby, zaś w pozostałych sześciu wierzchołkach stykają się kątami ostrymi 4 romby. Krótsze przekątne wszystkich ścian są krawędziami sześcianu. Dłuższe przekątne ścian są krawędziami ośmiościanu foremnego. Miarą kąta dwuściennego między sąsiednimi ścianami jest
Dwunastościan rombowy jest wielościanem Catalana dualnym do sześcio-ośmiościanu i dlatego grupa symetrii bryły działa przechodnio na zbiorze ścian. Przechodniość ta oznacza, że dla dwóch ścian i istnieje obrót lub symetria przekształcające bryłę na siebie, a ścianę na ścianę Grupa symetrii dwunastościanu rombowego działa także przechodnio na zbiorze krawędzi tej bryły.
Sfery związane z dwunastościanem rombowym thumb|120px|Dwunastościan rombowy (czarne krawędzie) i dualny z nim sześcio-ośmiościan (zielone krawędzie). Jeśli długość krawędzi dwunastościanu rombowego jest równa to długości promieni niektórych sfer są następujące: promień sfery wpisanej stycznej do wszystkich 12 ścian:
promień sfery stycznej do wszystkich 24 krawędzi:
każdy punkt styczności leży w odległości krawędzi od wierzchołka, w którym zbiegają się 3 krawędzie, promień sfery opisanej:
chodzi o najmniejszą sferę „zamykającą w sobie” dwunastościan rombowy, przechodzi ona przez 6 wierzchołków, w których zbiegają się 4 krawędzie tej bryły.
Pole i objętość Pole powierzchni i objętość dwunastościanu rombowego o krawędzi są równe:
Występowanie w przyrodzie thumb|120px|Kryształ granatu Niektóre kryształy występujące w przyrodzie przybierają formę dwunastościanu rombowegoW warszawskim Muzeum Ziemi jeden z wystawionych w ekspozycji kryształów ma formę dwunastościanu rombowego.. Są to przede wszystkim kryształy granatu, ale tę formę przyjmuje wiele innych minerałów, na przykład magnetyt, sodalit, spinel i sfaleryt.
Pszczoły używają geometrii tej bryły do tworzenia plastrów miodu, których komórki są graniastosłupami prawidłowymi, sześciokątnymi zamkniętymi połówkami dwunastościanu rombowego.
Jak można sobie wyobrazić kształt dwunastościanu rombowego thumb|150px|Wypełnienie przestrzeni przystającymi dwunastościanami rombowymi. Krótkie przekątne rombów, i wierzchołki, w których romby stykają się kątami rozwartymi są krawędziami i wierzchołkami sześcianu o objętości równej połowie objętości samego dwunastościanu. Długie przekątne rombów, i wierzchołki, w których romby stykają się kątami ostrymi, są krawędziami i wierzchołkami ośmiościanu foremnego.
Ten dwunastościan można skonstruować, wychodząc z sześcianu, w następujący sposób: budujemy ostrosłup, którego podstawą jest ściana, a wierzchołkiem lustrzane odbicie środka sześcianu w płaszczyźnie ściany, powiększając sześcian o ten ostrosłup; powtarzając to dla wszystkich ścian uzyskamy dwunastościan rombowy, a użyte ostrosłupy będą składać się na kompletny sześcian – więc objętość dwunastościanu będzie 2 razy większa.
Powyższe wywody można zilustrować w układzie współrzędnych w przestrzeni: Punkty są wierzchołkami sześcianu o ścianach rozpiętych na sześciu czwórkach punktów: Do powyższych 8 punktów dołączamy 6 następnych: Są one obrazami początku układu współrzędnych w symetrii względem poszczególnych ścian, np. punkt jest obrazem w symetrii względem ściany a punkt – w symetrii względem ściany 14 wyżej wymienionych punktów jest wierzchołkami dwunastościanu rombowegoIlustracja ta jest analogiczna do konstrukcji 24-komórki podanej w cytowanej książce Marcela Bergera na s. 490–491..
Takie dwunastościany mogą wypełnić przestrzeń – żeby skonstruować taki układ wystarczy wyjść z układu sześcianów wypełniających przestrzeń, usunąć z nich co drugi, tak aby z każdych dwóch o wspólnej ścianie jeden został usunięty, i pozostałych użyć do konstrukcji dwunastościanów, odbijając ich środki względem sześciu ścian.
Wielościany pokrewne Dwunastościan rombowy jest elementem ciągu wielościanów rombowych i parkietaży, których grupa symetrii jest [n, 3] grupą Coxetera. Sześcian (geometria) może bowiem być uważany za sześciościan rombowy, gdzie romby są kwadratami.
Wielościan Parkietaż euklidesowy Parkietaż hiperboliczny [3, 3] [4, 3] [5, 3] [6, 3] [7, 3] [8, 3] 100pxSześcian 100pxDwunastościan rombowy 100pxTrzydziestościan rombowy 100px 100px 100px
Związki z bryłami czterowymiarowymi Czterowymiarowym odpowiednikiem dwunastościanu rombowego jest 24-komórka (jest to komórka foremna).
Jej wierzchołkami są: 16 wierzchołków czterowymiarowego odpowiednika sześcianu – 8-komórki: Jej 3-wymiarowymi ścianami są sześciany rozpięte na ośmiu ósemkach punktów: Ponadto wierzchołkami 24-komórki są obrazy środka układu współrzędnych w ośmiu ścianach:
Przekrój 24-komórki przestrzenią 3-wymiarową prostopadłą do największej przekątnej w jej środku jest dwunastościanem rombowym. Wynika to z powyższych opisów obu figur geometrycznych w układzie współrzędnych kartezjańskich.
Dwunastościan jest także otoczką wypukłą rzutu prostokątnego 8-komórki wzdłuż wielkiej przekątnej. Ilustruje to rysunek poniżej. Rzut zielonych punktów jest wtedy środkiem dwunastościanu.
Przypisy
Bibliografia The Geometrical Foundation of Natural Structure (Section 3-9)
The thirteen semiregular convex polyhedra and their duals, Page 19, Rhombic dodecahedron The Symmetries of Things 2008, John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass, (Chapter 21, Naming the Archimedean and Catalan polyhedra and tilings, page 285, Rhombic dodecahedron)
Linki zewnętrzne Virtual Reality Polyhedra – Encyklopedia wielościanów.
Modele komputerowe -- interaktywne modele 3-wymiarowe. Relating a Rhombic Triacontahedron and a Rhombic Dodecahedron (Sándor Kabai) Rhombic Dodecahedron 5-Compound (Sándor Kabai) Rhombic Dodecahedron 5-Compound (Sándor Kabai)
Projekty papierowe Rhombic Dodecahedron Calendar – kalendarz w postaci dwunastościanu rombowego (bez użycia kleju)
Zastosowania praktyczne Archimede Institute – projekty przedmiotów w kształcie dwunastościanu rombowego.
Kategoria:Wielościany Catalana