Przekształcenie geometryczne, odwzorowanie geometryczne – funkcja przekształcająca jeden zbiór punktów w drugi zbiór punktów. Punkty te należą do przestrzeni geometrycznej jak te euklidesowe, rzutowe itp., a zbiory tych punktów są nazywane figurami geometrycznymi.
Przekształcenia geometryczne występują między innymi w geometrii elementarnej – mogą być określone na najprostszych przestrzeniach euklidesowych jak euklidesowa płaszczyzna lub przestrzeń trójwymiarowa. Wtedy ich zbiorami argumentów są odpowiednio figury płaskie i bryły, a obrazami tych zbiorów – także figury tego typu.
Szczególnie istotne przekształcenia geometryczne to te niezdegenerowane, czyli różnowartościowe, a wśród nich – wzajemnie jednoznaczne. Te ostatnie są też znane jako bijekcje lub funkcje odwracalne. Bijekcje przestrzeni w nią samą mogą należeć do grup przekształceń. Inne kluczowe pojęcie związane z przekształceniami geometrycznymi – nie tylko odwracalnymi – to punkt stały; pojawia się między innymi w niektórych definicjach.
Przykłady mały|300px
Płaskie (planimetryczne) Niech dane będą okrąg i styczna z nim w punkcie prosta oraz punkt będący końcem średnicy wychodzącej z punktu Odwzorowanie przekształcające dowolny punkt w różny od punkt wyznaczony przez przecięcie odcinka z okręgiem jest różnowartościowe, ale nie jest „na”. Punktem stałym jest punkt Punkt nie jest obrazem żadnego punktu prostej Rzut równoległy płaszczyzny na prostą – nie jest różnowartościowy.
Do najważniejszych przekształceń geometrycznych wzajemnie jednoznacznych płaszczyzny można zaliczyć: przesunięcie równoległe, symetria środkowa, obrót dokoła punktu, symetria osiowa, jednokładność, powinowactwo osiowe, przekształcenie liniowe, przekształcenie afiniczne.
Trójwymiarowe (stereometryczne) Przykłady bijekcji przestrzeni trójwymiarowej: obrót dokoła prostej; podobieństwo spiralne; powinowactwo płaszczyznowe; ruch śrubowy; symetria płaszczyznowa.
Przypisy