Liczby czworościenne – rodzaj liczb naturalnych, który da się definiować na kilka równoważnych sposobów. Liczby czworościenne to Łukasz Bożyk, Geometrycznie o liczbach, Stowarzyszenie na rzecz Edukacji Matematycznej (SEM), sem.edu.pl [dostęp 2026-02-16], s. 1.: liczby równych kul wypełniających czworościan foremny przy regularnym ułożeniu; sumy początkowych liczb trójkątnych, czyli sum początkowych liczb naturalnych:
liczby opisane wzoremTo przykład zapisanego w postaci iloczynowej. Jego miejsca zerowe to zero, minus jeden i minus dwa, czyli rosnąco:
gdzie to symbol Newtona. Kolejnymi liczbami czworościennymi są: 1, 4, 10, 20, 35, 56, 84, 120, 165, ... .
Uogólnieniem liczb czworościennych są liczby piramidalne – sumy początkowych liczb wielokątnych.
Równoważność definicji mały|300px|Graficzny dowód wzoru na liczby czworościenne. Z sześciu kopii czworościennej konstrukcji da się ułożyć prostopadłościan, którego krawędzie są trzema kolejnymi liczbami naturalnymi
Równoważność podanych wzorów da się uzasadnić krótkimi przekształceniami algebraicznymi jak: podstawowe własności działań jak rozdzielność mnożenia, łączność i przemienność; wzory na liczby trójkątne i na liczby piramidalne z kwadratową podstawą, czyli na sumy początkowych liczb kwadratowych [dostęp 2026-02-16].:
Istnieją też uzasadnienia graficzne jak to obok Jim Delany, Geometric Proof of the Tetrahedral Number Formula , Wolfram Demonstrations Project – Wolfram Research, demonstrations.wolfram.com, 2007 [dostęp 2026-02-16]..
Własności mały|300px|Trójkąt Pascala zawiera ciąg wszystkich liczb czworościennych – w ukośnej serii numer trzy (3), czyli obok serii liczb trójkątnych mały|Dziesiątka (10) jest jednocześnie czwartą liczbą trójkątną i trzecią liczbą czworościenną:
Ciąg wszystkich liczb czworościennych można znaleźć w trójkącie Pascala – w ukośnej serii numer trzy (3), czyli obok serii liczb trójkątnych. Wynika to ze wzoru na liczby czworościenne – zawiera on symbol Newtona Elżbieta Miterka, Co łączy trójkąt Pascala z trójkątem Sierpińskiego?, Zintegrowana Platforma Edukacyjna – Ministerstwo Edukacji Narodowej (ZPE MEN), zpe.gov.pl [dostęp 2026-02-16]. Wajdi Mohamed Ratemi, The mathematical secrets of Pascal’s triangle , kanał TED-Ed na YouTube, 15 września 2015 [dostęp 2026-02-6].:
Suma odwrotności wszystkich liczb czworościennych to półtora (trzy drugie):
Można to udowodnić na co najmniej dwa sposoby – jeden jest elementarny, a drugi korzysta z szeregów potęgowych Pawel Grzegrzolka i Jeffrey L. Miller, Sums of Reciprocals of Generalized Triangular Numbers (PDF), arXiv.org, 4 lutego 2026 [dostęp 2026-02-16]..
Istnieją tylko trzy (3) liczby jednocześnie czworościenne i kwadratowe, czyli będące kwadratami liczb naturalnych:
Udowodnił to A.J. Meyl w 1878 roku.
Istnieje tylko pięć (5) liczb jednocześnie czworościennych i trójkątnych:
Uwagi
Przypisy
Linki zewnętrzne Marek Penszko, Wielokąty NPW, czyli eksploracja jaskiń, portal „Projekt Pulsar”, projektpulsar.pl, 1 listopada 2021 [dostęp 2026-02-16] – o związku liczb czworościennych z pewnymi zagadkami. Tetrahedral and 4-Tetrahedral Numbers , University of Toronto, math.toronto.edu [dostęp 2026-02-16].
C