mały|Suma kątów wewnętrznych trójkąta na sferze jest zawsze większa od 180°, a nadwyżka rośnie wraz z polem trójkąta. Dla małych trójkątów na powierzchni Ziemi jest ona nieznaczna i prawa geometrii płaskiej pozostają dobrym przybliżeniem

Geometria sferyczna – dział geometrii badający figury na powierzchni sfery, w którym rolę prostych pełnią koła wielkie, czyli przekroje sfery płaszczyznami przechodzącymi przez jej środek. Odległość dwóch punktów wyznacza miara kąta, pod jakim widać je ze środka sfery, a kąt między dwiema „prostymi” – kąt dwuścienny wyznaczonych przez nie płaszczyzn, czyli kąt ich wzajemnego nachylenia.

Geometrię sferyczną badali już starożytni Grecy (Menelaos z Aleksandrii, Klaudiusz Ptolemeusz) na potrzeby astronomii. Rozwinęli ją matematycy świata islamu, a w XVIII wieku Euler i jego uczniowie. W XIX wieku włączono ją w powstającą teorię geometrii nieeuklidesowych. Wraz z opartą na niej trygonometrią sferyczną pozostaje narzędziem astronomii sferycznej, geodezji, nawigacji i kartografii.

Sferę można badać zewnętrznie – jako powierzchnię zanurzoną w trójwymiarowej przestrzeni euklidesowej, metodami stereometrii – albo wewnętrznie, bez odwoływania się do przestrzeni otaczającej. Oba ujęcia pojawiły się już w starożytności: pierwsze u Teodozjusza z Bitynii, drugie u Menelaosa.

Geometria sferyczna jest przykładem geometrii nieeuklidesowej o stałej dodatniej krzywiźnie: nie ma w niej prostych rozłącznych, suma kątów trójkąta zawsze przekracza 180°, a pole trójkąta jest wprost proporcjonalne do tej nadwyżki, zwanej nadmiarem sferycznym. Nie istnieją też trójkąty podobne, lecz nieprzystające – kąty trójkąta wyznaczają jego rozmiar. Nie jest ona jednak geometrią nieeuklidesową w takim sensie, w jakim jest nią geometria hiperboliczna: nie powstaje przez zmianę samego postulatu równoległości, bo na sferze zawodzą także inne aksjomaty geometrii euklidesowej, między innymi ten o możliwości nieograniczonego przedłużania prostych.

Od geometrii eliptycznej różni się tym, że nie każde dwa punkty jednoznacznie wyznaczają prostą: przez parę , czyli leżących naprzeciw siebie jak bieguny globusa, przechodzi nieskończenie wiele kół wielkich. Utożsamienie punktów antypodycznych usuwa ten wyjątek i przekształca sferę w płaszczyznę rzutową rzeczywistą.

Podstawowe pojęcia mały|Odległość sferyczna punktów P i Q mierzona wzdłuż koła wielkiego (kolor czerwony). Punkty u i v są antypodyczne

Koła wielkie i małe Przekrój powierzchni sfery płaszczyzną, która ma z nią więcej niż jeden punkt wspólny, jest okręgiem. Jeżeli płaszczyzna przechodzi przez środek sfery, nazywa się go kołem wielkim, a w przeciwnym razie – kołem małym. Promień koła wielkiego jest równy promieniowi sfery. Na globusie kołem wielkim jest równik, a wszystkie równoleżniki poza nim są kołami małymi. Każdy południk stanowi natomiast tylko połowę koła wielkiego – pełne koło tworzy dopiero wraz z południkiem leżącym po przeciwnej stronie globusa.

Przez dwa różne punkty sfery przechodzi dokładnie jedno koło wielkie, o ile nie są to końce średnicy, czyli punkty antypodyczne. Przez parę takich punktów przechodzi kół wielkich nieskończenie wiele. Dwa punkty nieantypodyczne dzielą wyznaczone przez siebie koło wielkie na dwa łuki nierównej długości, a przez „łuk koła wielkiego łączący dwa punkty” rozumie się zwykle krótszy z nich.

Odległość i miara kąta Odległość dwóch punktów sfery jest długością krótszego łuku koła wielkiego, które je łączy. Na sferze jednostkowej jest ona liczbowo równa mierze łukowej kąta środkowego, pod jakim widać oba punkty, a na sferze o promieniu r trzeba tę miarę pomnożyć przez r. Łuki kół wielkich są liniami geodezyjnymi sfery, czyli lokalnie najkrótszymi drogami między punktami.

Kąt między dwoma kołami wielkimi definiuje się jako kąt dwuścienny między ich płaszczyznami.

Bieguny i dwoistość mały|Dwoistość punktu i „prostej” na sferze: kołu wielkiemu odpowiada para jego biegunów Średnica sfery prostopadła do płaszczyzny danego okręgu nazywa się jego osią, a jej końce – biegunami tego okręgu. Łuk poprowadzony od bieguna koła wielkiego do dowolnego punktu tego koła jest ćwiartką okręgu, czyli ma miarę 90°.

Jeśli kołu wielkiemu przyporządkować parę jego biegunów, a punktowi – koło wielkie, którego jest on biegunem, otrzymuje się na sferze dwoistość (dualność) między punktami a „prostymi”. Przekłada ona miary kątów na miary łuków: kąt między dwoma kołami wielkimi jest równy mierze kątowej łuku koła wielkiego łączącego ich bieguny, przy odpowiednim wyborze jednego z dwóch biegunów każdego z kół. Na tej dwoistości opiera się konstrukcja trójkąta biegunowego, wykorzystywana w trygonometrii sferycznej już na przełomie X i XI wieku.

Izometrie Izometrią sfery nazywa się przekształcenie zachowujące odległości sferyczne. Dwa podstawowe przykłady to obrót o zadany kąt wokół osi wyznaczonej przez parę punktów antypodycznych oraz odbicie względem koła wielkiego, które zamienia miejscami bieguny tego koła, a punkty samego koła pozostawia nieruchome.

Same odbicia wystarczają do opisania wszystkich izometrii: każda izometria sfery jest złożeniem co najwyżej trzech odbić względem kół wielkich, a ta sama izometria nie może być raz złożeniem parzystej, a raz nieparzystej liczby odbić – parzystość jest jej trwałą cechą. Złożenie dwóch obrotów jest znowu obrotem, a każda izometria zachowująca orientację, czyli złożona z parzystej liczby odbić, jest obrotem. Izometria określona tylko na części sfery przedłuża się przy tym jednoznacznie na całą sferę, o ile ta część zawiera trzy punkty nieleżące na jednym kole wielkim.

Trójkąty i wielokąty sferyczne mały|Trójkąt sferyczny na sferze jednostkowej. Boki a, b, c są łukami kół wielkich, kąty A, B, C – kątami między nimi

Trójkąt sferyczny Trójkąt sferyczny wyznaczają trzy punkty sfery nieleżące na jednym kole wielkim, połączone trzema łukami kół wielkich. Z samego tego warunku wynika, że żadne dwa z nich nie są antypodyczne, więc każdy z trzech łuków jest wyznaczony jednoznacznie. Zgodnie z przyjętą konwencją każdy bok trójkąta jest krótszy od półokręgu, a z tego ograniczenia wynika, że każdy jego kąt jest mniejszy od kąta półpełnego. Założenie o bokach krótszych od połowy koła wielkiego przyjmował już Menelaos. Suma kątów trójkąta sferycznego przekracza kąt półpełny, możliwe są więc na sferze trójkąty o dwóch, a nawet trzech kątach prostych. Trójkąt dwuprostokątny jest zawsze równoramienny, a trójkąt trójprostokątny ma wszystkie boki i wszystkie kąty równe 90° i zajmuje ósmą część powierzchni sfery.

Trzy koła wielkie w położeniu ogólnym – czyli takie, z których żadne dwa się nie pokrywają i które nie przechodzą przez jedną wspólną parę punktów antypodycznych – dzielą powierzchnię sfery na osiem trójkątów. Powstały układ ma sześć punktów przecięcia, dwanaście łuków i dwadzieścia cztery kąty. Trójkąty leżące na jednej półsferze są przy tym parami przystające do trójkątów leżących na drugiej, bo przeprowadza je na siebie odwzorowanie antypodyczne. Wśród ośmiu trójkątów są więc co najwyżej cztery parami nieprzystające. Każde dwa z tych czterech mają co najmniej jeden bok i jeden kąt tej samej miary, a pozostałe ich elementy dopełniają się parami do kąta półpełnego. Ponieważ kąty wyznaczają trójkąt sferyczny jednoznacznie, znajomość jednego z ośmiu trójkątów przesądza o pozostałych siedmiu.

Nadmiar sferyczny i pole mały|Dwukąt sferyczny: część powierzchni sfery między dwoma półokręgami kół wielkich o wspólnych końcach Dwukąt sferyczny to część powierzchni sfery zawarta między dwoma półokręgami kół wielkich o wspólnych końcach. Dwukąty o równych kątach są przystające, a ich pola są proporcjonalne do kątów, wobec czego dwukąt o kącie A wyrażonym w mierze łukowej ma na sferze o promieniu r pole:

Przedłużenia boków trójkąta wyznaczają trzy dwukąty, z których każdy zawiera ten trójkąt. Zsumowanie ich pól daje podwojone pole trójkąta powiększone o pole półsfery, a stąd wzór na pole trójkąta sferycznego o kątach A, B, C wyrażonych w mierze łukowej:

Wielkość nazywa się nadmiarem sferycznym trójkąta. Ponieważ pole jest dodatnie, suma kątów każdego trójkąta sferycznego przekracza (180°), a zarazem pozostaje mniejsza od 540°. Pole trójkąta ma się do połowy powierzchni sfery tak, jak nadmiar sferyczny do kąta pełnego. Twierdzenie o polu trójkąta sferycznego nosi zwykle imię Alberta Girarda, który ogłosił je w z 1629 roku. Joseph Louis Lagrange uznawał jednak jego dowód za niewystarczający i za właściwego autora uważał Bonaventurę Cavalieriego, który podał dowód pełny w z 1632 roku. Analogiczny wzór, dowodzony podziałem figury na n trójkątów, obowiązuje dla wielokąta sferycznego o n bokach i sumie kątów :

Z proporcjonalności pola i nadmiaru wynika, że dwa trójkąty o równych sumach kątów mają równe pola, a ponieważ powierzchnia sfery jest skończona, pole trójkąta jest ograniczone z góry. Trzy kąty trójkąta sferycznego wyznaczają zaś jednoznacznie jego boki, więc na sferze – inaczej niż na płaszczyźnie – nie istnieją trójkąty podobne, lecz nieprzystające: same kąty przesądzają o rozmiarze trójkąta.

Ze wzoru na pole wielokąta sferycznego wynika też twierdzenie Eulera o wielościanach, zgodnie z którym wielościan o W wierzchołkach, K krawędziach i S ścianach spełnia równość . W dowodzie podanym przez Legendre’a wybiera się punkt wewnątrz bryły jako środek sfery, rzutuje na nią z tego punktu wierzchołki wielościanu i łączy ich obrazy łukami kół wielkich, co dzieli sferę na S wielokątów sferycznych. Suma ich pól równa się polu sfery , suma wszystkich ich kątów wynosi , a łączna liczba boków – , bo każda krawędź wyznacza łuk wspólny dwóm wielokątom. Samo twierdzenie ogłosił wcześniej Euler.

Trójkąt biegunowy mały|Trójkąt ABC i jego trójkąt biegunowy A′B′C′. Boki i kąty jednego są dopełnieniami do 180° kątów i boków drugiego Każdy bok trójkąta sferycznego ABC ma dwa bieguny, więc z samych biegunów jego boków można zbudować osiem trójkątów. Tylko w jednym z nich bieguny boków BC, CA i AB leżą po tej samej stronie tych boków co odpowiednie wierzchołki A, B i C. Ten trójkąt nazywa się trójkątem biegunowym trójkąta ABC.

Relacja ta jest wzajemna: jeśli A′B′C′ jest trójkątem biegunowym trójkąta ABC, to ABC jest trójkątem biegunowym trójkąta A′B′C′. Boki i kąty trójkąta biegunowego są dopełnieniami do 180° odpowiednio kątów i boków trójkąta wyjściowego. Dzięki temu z każdego wzoru trygonometrii sferycznej otrzymuje się drugi, zamieniając boki na dopełnienia kątów i odwrotnie.

Najstarszy znany opis tej konstrukcji pochodzi z listu, w którym (przełom X i XI wieku) prostował tablice astronomiczne . Autor listu posłużył się nią, by wykazać, że kąty trójkąta sferycznego wyznaczają jego boki. W Europie autorstwo pomysłu przypisywano aż do końca XIX wieku François Viète’owi, niekiedy też Snelliusowi. To, że figurę znali matematycy arabscy, zauważono dopiero pod koniec XIX wieku. Figurę tę wykorzystali też Euler i Lagrange: obaj zauważyli, że jeden wzór trygonometrii sferycznej przechodzi w drugi po zastąpieniu boków dopełnieniami kątów i odwrotnie, i dopiero z tej obserwacji wyprowadzili istnienie trójkąta o bokach i kątach dopełniających. Lagrange nazwał go trójkątem dopełniającym.

Trygonometria sferyczna

mały|Trzy koła wielkie dzielą sferę na osiem trójkątów Trójkąt sferyczny ma sześć elementów: trzy boki i trzy kąty. Wyznaczanie pozostałych elementów, gdy znana jest dostatecznie duża ich liczba – na ogół wystarczają trzy – nazywa się rozwiązywaniem trójkąta sferycznego i stanowi przedmiot trygonometrii sferycznej. Szczegółowy wykaz wzorów zawiera hasło trójkąt sferyczny. Przy oznaczeniach, w których a, b, c są bokami, a A, B, C – kątami leżącymi naprzeciw nich, podstawowe wzory mają postać:

twierdzenie cosinusów dla boków: ; twierdzenie sinusów: ; wzory kotangensowe (wiążące cztery kolejne elementy trójkąta), na przykład ;