thumb|400px|Ślimak Teodorosa Ślimak Teodorosa, spirala Teodorosa – konstrukcja geometryczna, pozwalająca stworzyć odcinek o długości równej pierwiastkowi z danej liczby naturalnej. Zasada konstrukcji opiera się na twierdzeniu Pitagorasa. Nazwa konstrukcji pochodzi od imienia greckiego matematyka i filozofa, Teodorosa z Cyreny. Autorem konstrukcji był Jakob Heinrich Anderhub, matematyk amator, który opisał ją w pracy Joco-Seria, aus den Papieren eines reisenden Kaufmanns z 1941 roku.
Opis konstrukcji Budujemy trójkąt prostokątny o przyprostokątnych długości 1. Przeciwprostokątna trójkąta ma długość Konstruujemy kolejny trójkąt prostokątny, którego jedną przyprostokątną jest przeciwprostokątna trójkąta z pkt. 1, a druga przyprostokątna ma długość 1. Przeciwprostokątna otrzymanego trójkąta ma długość Czynność tę powtarzamy, tworząc kolejne trójkąty prostokątne. Za każdym razem jedna z przyprostokątnych jest zarazem przeciwprostokątną trójkąta z poprzedniego kroku, a druga ma długość 1. Długości przeciwprostokątnych są pierwiastkami kolejnych liczb naturalnych.
Konstrukcja w 17 kroku prowadzi do nakładania się trójkątów na siebie, jak na ilustracji obok. Jeśli będzie kontynuowana, trzecia grupa trójkątów podwójnie nakładających się na siebie nastąpi w 54. kroku itd.
Najprostsze własności thumb|-ty trójkąt konstrukcji Niech oznacza kąt ostry -tego trójkąta o wierzchołku w środku całej konstrukcji. Wówczas:
Stąd oczywiście:
Suma
wyznacza kąt dla przeciwprostokątnej -tego trójkąta o długości względem przyprostokątnej o długości 1-go trójkąta poprowadzonej ze środka konstrukcji.
W 1958 roku Erich Teuffel udowodnił, że żadne dwie przeciwprostokątne nie pokryją się, tzn. dla .
Historia thumb|400px|Rozszerzony ślimak Teodorosa. Konstrukcja zwana ślimakiem Teodorosa była niekiedy przypisywana Teodorosowi jako stosowana przez niego metoda wyznaczania odcinka o długości proporcjonalnej do pierwiastka kwadratowego z całkowitej wielokrotności danego odcinka jednostkowego. W rzeczywistości pitagorejczycy, którzy opracowali i rozwinęli metodę kwadratury wielokątów, potrafili „pierwiastkować” odcinki o dowolnej rzeczywistej nieujemnej długości. Np. kwadratura dowolnego trójkąta o podstawie 2 i wysokości prowadziła „w jednym kroku” do konstrukcji kwadratu o boku podczas gdy metoda użyta w ślimaku Teodorosa jest niepraktyczna i żmudna – wyznaczenie odcinka długości wymaga -krotnego powtórzenia każdego kroku konstrukcji.
Ślimak Teodorosa jest znany głównie dzięki fragmentowi dialogu Platona Teajtet będącego relacją z badań Teodorosa nad niewymiernością boków kwadratów o danych całkowitych polachKwestię tę dokładnie wyjaśniają Jean Itard, Les livres arithmétiques d’Euclide, s. 33–39, Hermann, Paris 1961 oraz Wilbur R. Knorr, The evolution of the Euclidean Elements, Reidel, Dordrecht-Boston 1975, s. 62–108..
Wzmianka o siedemnastostopowym kwadracie w zdaniu
wywoływała wiele domysłów i spekulacji próbujących znaleźć przyczynę zatrzymania się Teodorosa w swoich badaniach właśnie na kwadracie o polu 17.
Przez zbieżność tej siedemnastki z siedemnastym krokiem konstrukcji ślimaka Teodorosa, w którym trójkąt nakłada się na pierwszy już narysowany, konstrukcja ta była traktowana jako jedno z możliwych wyjaśnień tego fragmentu z Platona.
Funkcja Teodorosa i stała Teodorosa
Linia łamana, utworzona przez krótsze przyprostokątne opisanych wyżej trójkątów prostokątnych (przyprostokątne o długości 1), bywa niekiedy nazywana dyskretną spiralą Teodorosa. Philip Davis określił położenie wierzchołków tej spirali na płaszczyźnie zespolonej poprzez równanie rekurencyjne:
gdzie jest jednostką urojoną, oznacza moduł liczby zespolonej
Wzór
łatwo można wykazać indukcyjnie, bo oraz
w miejscu oznaczonym gwiazdką (*) wykorzystano założenie indukcyjne
Korzystając z powyższej własności, Davis przekształcił wzór rekurencyjny w postaci iteracyjnej
Zagadnienie, jak zinterpolować wierzchołki dyskretnej spirali Teodorusa za pomocą krzywej gładkiej, postawił i rozwiązał Davis, wykorzystując analogię z wzorem Eulera dla funkcji gamma jako rozszerzenia silni. Jako rozwiązanie zagadnienia przedstawił wzór:
wykazał jego zbieżność dla i zaproponował dla niego nazwę funkcja Teodorosa.
Stałą Teodorosa nazwał Davis nachylenie (gradient) funkcji Teodorosa w punkcie Stałą Teodorosa bywa także nazywana wartość :
gdzie jest funkcją dzeta Riemanna.
Stosując zaawansowane metody analityczne i numeryczne, stałą Teodorosa do 50. miejsca po przecinku obliczył Walter Gautschi.
Uwagi
Przypisy
Bibliografia
Linki zewnętrzne
Kategoria:Konstrukcje klasyczne Kategoria:Trójkąty Kategoria:Pierwiastki kwadratowe Kategoria:Rodzaje liczb zespolonych Kategoria:Przykłady ciągów liczbowych