thumb|250px|Konstrukcja punktu Fermata Punkt Fermata (punkt Torricellego) – punkt w trójkącie, którego suma odległości od wierzchołków trójkąta jest najmniejsza z możliwych. Pierwszy raz problem konstrukcji takiego punktu został rozwiązany przez Fermata w prywatnym liście.

Konstrukcja W przypadku, gdy wszystkie kąty trójkąta mają miary mniejsze niż punkt Fermata jest punktem przecięcia odcinków łączących wierzchołki trójkąta z tymi wierzchołkami trójkątów równobocznych zbudowanych na przeciwległych bokach, które nie są wierzchołkami wyjściowego trójkąta.

Gdy jeden z kątów ma miarę co najmniej łatwo zauważyć (z nierówności trójkąta), że wierzchołek przy kącie rozwartym ma mniejszą sumę odległości od wierzchołków, niż punkt otrzymany w powyższej konstrukcji. Wierzchołek ten ma wtedy najmniejszą możliwą z takich sum.

Dowód thumb Dla dowolnego punktu wewnątrz gdy obrócimy wokół punktu zgodnie z ruchem wskazówek zegara o kąt to otrzymamy (według oznaczeń na rysunku obok), gdzie jest punktem wewnątrz spełniającym oraz

więc jest równoboczny, czyli

Stąd Zatem wartość sumy najmniejsza, gdy punkty są współliniowe.

Prowadząc analogiczne rozumowanie, obracając i wokół odpowiednich punktów, otrzymujemy, że punkt o minimalnej wartości sumy leży na pozostałych dwóch odcinkach łączących wierzchołki trójkąta wyjściowego z odpowiednimi wierzchołkami trójkątów równobocznych. Jest to jednocześnie dowód na współpękowość tych trzech odcinków.

Właściwości thumb Punkt Fermata jest jednocześnie punktem przecięcia okręgów opisanych na trójkątach równobocznych zbudowanych na bokach danego trójkąta. Z punktu Fermata każdy bok widać pod tym samym kątem Odcinki zaznaczone na górnym rysunku na czerwono mają równe długości.

Dowód Oznaczenia jak na najniższym rysunku. Gdy obrócimy wokół punktu zgodnie z ruchem wskazówek zegara o kąt to otrzymamy Stąd Analogicznie

Z przystawania tych trójkątów wynika też, że oraz Stąd

Podobnie

Zatem czyli sumy przeciwległych kątów w tych czworokątach wynoszą Stąd na czworokątach oraz można opisać okręgi. Podobnie pokazujemy, że przez punkt Fermata przechodzi okrąg opisany na

Zobacz też twierdzenie Napoleona drzewo Steinera

Linki zewnętrzne Punkt Fermata-Torricellego czyli ciekawy problem lokalizacji, blog beta-iks.pl, 10 lutego 2024 [dostęp 2024-03-03]. [dostęp 2024-10-30].

Kategoria:Obiekty określone dla trójkąta Kategoria:Twierdzenia o trójkącie