thumb|Wykres zmian temperatury kwadratowej płyty, obliczony z równania ciepła. Wysokość i zaczerwienienie wykresu określają temperaturę w punktach płyty. Stan początkowy obejmuje równomiernie gorący obszar w kształcie kopyta (czerwony) otoczony równomiernie zimnym obszarem (żółty). W miarę upływu czasu ciepło rozprzestrzenia się w zimnym obszarze.|200x200px frame|right|Numerycznie wyznaczona zmiana temperatury ciała. Równanie przewodnictwa cieplnego – równanie różniczkowe cząstkowe, opisujące przepływ ciepła przy zadanym jego początkowym rozkładzie w ośrodku oraz przy określonych warunkach brzegowych. Równanie ma postać:
gdzie – początkowy rozkład temperatury w przestrzeni, – szukana zależność rozkładu temperatury w przestrzeni w chwili czasu
Rozwiązanie równania przewodnictwa Poszukujemy rozwiązań w klasie regularności
Rozwiązaniem podstawowym równania przewodnictwa cieplnego jest:
Można sprawdzić, że spełnia ono równania:
Jeśli funkcja jest ciągła i ograniczona to funkcja
jest rozwiązaniem równania przewodnictwa cieplnego, jest ograniczone i jest dodatkowo klasy
Używając pojęcia splotu można napisać:
Nieskończenie szybkie rozchodzenie się ciepła Przypuśćmy, że ma zwarty nośnik i na pewnej kuli B jest Wówczas
dla każdego Zatem ciepło dochodzi w dowolnie małym czasie do każdego punktu przestrzeni, czyli rozchodzi się nieskończenie szybko. Tak oczywiście w rzeczywistości nie jest, dlatego też czasami używa się zaburzonego równania przewodnictwa cieplnego. Do równania wprowadza się wtedy parametr będący czasem relaksacji, na podstawie którego można wyznaczyć prędkość propagacji fali cieplnej:
gdzie to dyfuzyjność cieplna.
Wartość τ jest bardzo mała i wynosi np. 10−11 s dla aluminium, 10−6 s dla ciekłego helu. W przypadku ciekłego helu współczynnik dyfuzji wynosi 10 m²/s, stąd prędkość propagacji 3162 m/s, dlatego w praktyce obliczeniowej przyjmuje się czas relaksacji s i co za tym idzie, nieskończoną prędkość propagacji.
Zasada maksimum dla równania przewodnictwa ciepła Niech ustalony czas, oraz ograniczona funkcja, będąca rozwiązaniem równania przewodnictwa cieplnego. Oznaczmy oraz Wówczas
Zasadę maksimum można interpretować fizycznie następująco: w momencie przyjmowana jest największa i najmniejsza wartość temperatury, potem temperatura będzie się stabilizować i „uśredniać”, zachowuje się zatem zgodnie z codziennym doświadczeniem.
Wyprowadzenie równania przewodnictwa Interpretujemy funkcję jako temperaturę w punkcie przestrzeni x w momencie t. Zakładamy, że ciepło ucieka z najcieplejszego do najzimniejszego miejsca, tj. w kierunku przeciwnym do gradientu temperatury.
Ponadto zakładamy, że każdy obszar ogrzewa się proporcojnalnie do ilości ciepła, która do niego wpłynęła:
A z twierdzenia Gaussa:
gdzie oznacza pochodną normalną funkcji. Zatem dostajemy:
Z dowolności mamy:
czyli:
Poprawność zagadnienia W ogólności, tzn. dla dowolnie wybranej funkcji zagadnienie nie jest dobrze postawione, gdyż rozwiązania nie są jednoznaczne. Jeden z przykładów został podany przez Tichonowa.
W klasie ograniczonych rozwiązań równania, tj. zagadnienie ma jednoznaczne rozwiązanie i jest dobrze postawione.
Zobacz też ciepło przewodność cieplna przewodzenie ciepła
Przypisy
Linki zewnętrzne [dostęp 2025-12-14]. Grant Sanderson, Solving the heat equation, kanał 3blue1brown na YouTube, 16 czerwca 2019 [dostęp 2021-03-15]. The Heat Equation + Special Announcement!, kanał PBS Infinite Series na YouTube, 17 listopada 2017 [dostęp 2024-08-29].
przewodnictwa cieplnego Kategoria:Prawa i równania termodynamiki Przewodnictwa cieplnego