Operator T odwrotny do operatora Laplace’a definiujemy następująco. Rozpatrzmy zagadnienie własne dla równania Poissona z zerowymi warunkami brzegowymi, tj.
gdzie jest wartością własną operatora Laplace’a, a funkcja funkcją własną. W języku przestrzeni Sobolewa możemy napisać, że Zdefiniujmy operator:
następująco:
tj. jest słabym rozwiązaniem równania Poissona.
Własności operatora odwrotnego do operatora Laplace’a Operator jest dobrze określony, liniowy, ciągły. Operator jest zwarty. Operator jest samosprzężony.
Wartości własne operatora Laplace’a Z twierdzenia spektralnego dla operatorów zwartych i samosprzężonych wynika, że: Wszystkie wartości własne operatora Laplace’a na ograniczonym obszarze są dodatnie, mają skończone krotności, a jest punktem skupienia wartości własnych. Istnieje baza ortonormalna przestrzeni złożona z funkcji własnych laplasjanu.
Kategoria:Analiza spektralna Kategoria:Równania różniczkowe cząstkowe