Elementarna rodzina funkcji – zbiór funkcji rzeczywistych określonych na ustalonym zbiorze , który spełnia następujące warunki: jest przestrzenią liniową nad ciałem liczb rzeczywistych, jest zamknięta na operację brania wartości bezwzględnej, tzn. dla każdej funkcji zachodzi
W szczególności, z liniowości i domknięcia na wartość bezwzględną wynika, że jest także zamknięta na operacje brania maksimum i minimum dwóch funkcji, gdyż
Elementarne rodziny funkcji stanowią naturalny obiekt badań w analizie funkcjonalnej oraz teorii całkowania, zwłaszcza w kontekście własności porządkowych przestrzeni funkcyjnych.
Przykłady Rodzina wszystkich rzeczywistych funkcji ciągłych na danej przestrzeni zwartej , tj. przestrzeń , jest elementarną rodziną funkcji. Przestrzeń dla (z funkcjami rzeczywistymi) jest elementarną rodziną funkcji. Zbiór wszystkich funkcji prostych (schodkowych) na zbiorze mierzalnym jest elementarną rodziną funkcji.
Zastosowania i występowanie w twierdzeniach Pojęcie elementarnej rodziny funkcji pojawia się m.in. w: dowodach twierdzenia Stone’a–Weierstrassa dla algebr funkcji rzeczywistych, gdzie domknięcie na wartość bezwzględną (lub równoważnie: na maksimum i minimum) odgrywa istotną rolę, teorii przestrzeni Banacha uporządkowanych, w szczególności w badaniu przestrzeni typu krat Banacha, konstrukcji i własnościach całki Lebesgue’a, gdzie elementarne rodziny funkcji służą jako klasy funkcji aproksymujących, analizie struktur porządkowych w przestrzeniach funkcyjnych, np. w kontekście dodatnich operatorów liniowych.
Uwagi W literaturze spotyka się również określenia bliskoznaczne, takie jak przestrzeń funkcyjna zamknięta na moduł lub rodzina funkcyjna typu kratowego, jednak termin „elementarna rodzina funkcji” bywa używany w ujęciu dydaktycznym i klasycznym.
Bibliografia
Kategoria:Analiza funkcjonalna Kategoria:Przestrzenie liniowe