Hydrostatyka (z gr. hydōr – „woda” + statikos – „powodujący stanie”) – dział mechaniki płynów zajmujący się badaniem cieczy w stanie spoczynku oraz warunków pozostawania w spoczynku cieczy znajdującej się w polu sił masowych.
Siłami masowymi są siły, których wartość jest proporcjonalna do masy ciała, czyli siły grawitacyjne oraz sił bezwładności. Pomimo że istnieje odrębna dziedzina nauki zajmująca się jedynie statyką gazów (aerostatyka), ze względu na liczne pokrewieństwa (zarówno w samych zjawiskach, jak i ich opisach), często ciecze i gazy są rozpatrywane wspólnie (mechanika płynów).
Współczesność Współcześnie podstawowym zagadnieniem hydrostatyki jest określenie skalarnego pola ciśnienia w cieczy znajdującej się w spoczynku. Ciśnienie opisuje równanie:
gdzie: – wektorowe pole jednostkowych sił masowych (siła działająca na jednostkę masy cieczy), – gęstość cieczy, – gradient ciśnienia.
Zależność ta wynika z zastosowania praw dynamiki Newtona, które mogą być wyrażone dla płynu przez równania Naviera-Stokesa przy założeniu, że prędkość jest równa zero. Spełnione ono jest zarówno dla płynów nieściśliwych, czyli idealnych cieczy, jak i dla płynów ściśliwych, gdy pomija się ruch płynu wywołany ściśliwością; rzeczywistych cieczy i gazów.
Prawa strona równania jest różniczką, oznacza to że płyn pozostaje w spoczynku dla sił masowych będących różniczkowalnymi, takie pole sił jest polem potencjalnym. Ciśnienie oraz gęstość płynu w spoczynku w polu potencjalnym na powierzchni o jednakowym potencjale (ekwipotencjalnej) są jednakowe. Jeśli ciało składa się z dwóch płynów o różnej gęstości to powierzchnia rozdziału jest powierzchnią ekwipotencjalną, płyn o większej gęstości zajmuje obszar o mniejszej energii.
Prawo Pascala Gdy nie występują siły masowe równanie upraszcza się do:
Oznacza to że, gdy w płynie nie występują siły masowe, to ciśnienie w płynie jest jednakowe we wszystkich punktach płynu. Prawidłowość tę po raz pierwszy sformułował Pascal, stąd jego nazwa prawo Pascala i tradycyjnie jest uważane za najważniejsze prawo hydrostatyki.
Ciecz w polu jednorodnym Gdy siła masowa jest jednakowa w całej objętości cieczy i skierowana wzdłuż osi to ciśnienie zależy tylko od tej współrzędnej, a równanie równowagi płynu można sprowadzić do postaci:
lub
gdzie: – siła jednostkowa w kierunku osi – zmiana położenia, – zmiana ciśnienia.
Gdy gęstość płynu nie zależy od ciśnienia, co jest w przybliżeniu spełnione dla wszystkich cieczy, a siła masowa jest przyspieszeniem ziemskim równanie opisujące ciśnienie w cieczy zapisuje się w postaci:
gdzie: – ciśnienie panujące w cieczy na głębokości – ciśnienie panujące na powierzchni cieczy, – głębokość, na której określane jest ciśnienie.
W gazach, w tym i w powietrzu, gęstość można obliczyć z równania Clapeyrona. Jest ona zależna od ciśnienia:
gdzie: – masa molowa gazu, – stała gazowa, – temperatura gazu.
Z powyższego wynika zależność ciśnienia gazu od wysokości:
Co prowadzi do równania na zależność gęstości gazu od wysokości
gdzie: – wysokość, – zwana skalą wysokości.
Równania powyższe zwane są formułą barometryczną służą do wyznaczania ciśnienia w powietrzu na różnych wysokościach.
Wstęp thumb|Rys. 1. Ciśnienie działające na objętość różniczkową Kluczowym pojęciem w hydrostatyce jest ciśnienie. Ciśnienie jest stosunkiem siły przypadającej na powierzchnię jednostkową:
W celu otrzymania wyrażenia łączącego siłę z ciśnieniem dla objętości różniczkowej wychodzi się z równania różniczkowego opisującego zmianę ciśnienia w kierunku osi OZ:
Po zsumowaniu równań dla wszystkich kierunków równanie przyjmuje postać:
Jeżeli wartość dF podzielimy przez objętość różniczkową otrzymamy:
Co można zapisać:
Ciśnienie cieczy (w układach rzeczywistych) zależy jedynie od głębokości (ilości cieczy ponad punktem pomiaru). Jeżeli przyjmiemy, że g oraz są jednakowe dla każdego punktu w cieczy ( = idem i dg = idem) to zmiana ciśnienia w zależności od głębokości będzie miała charakter liniowy, co można wyrazić wzorem:
gdzie: – gęstość cieczy, – przyspieszenie ziemskie, – wysokość cieczy.
Jeżeli w dwóch pojemnikach (patrz rys. 2) znajduje się ciecz o tej samej wysokości i gęstości, to na dno obu pojemników wywierane jest takie samo ciśnienie. Dzieje się tak dlatego, że ciecz nad pochyłymi ściankami zbiornika b wywiera ciśnienie na te ścianki, a nie na dno zbiornika.
thumb|250px|Rys. 2. Ciśnienie na dnie zbiorników jest takie samo (paradoks hydrostatyczny)
Jeżeli w pojemniku znajdują się ciecze o różnej gęstości (nie mieszające się) to ciśnienie na danej głębokości jest sumą ciśnień wywieranych przez ciecze położone wyżej (o niższej gęstości) i wyraża się wzorem:
gdzie: – gęstość -tej cieczy, – wysokość warstwy -tej cieczy, – przyspieszenie ziemskie.
Jeżeli ciecze w zbiorniku mieszają się (nie tworzą warstw) to gęstość można zastąpić średnią gęstością cieczy:
gdzie: – gęstość -tej cieczy. – ułamek objętościowy -tej cieczy.
Właściwości statyczne płynów Płyny w stanie spoczynku posiadają pewne właściwości, dzięki którym mogą być charakteryzowane. Należą do nich: gęstość Stosunek masy do objętości:
gęstość względna Stosunek gęstości cieczy do gęstości wody. Ponieważ gęstość wody wynosi w przybliżeniu to gęstość względna cieczy wynosi w przybliżeniu wartość jednej tysięcznej gęstości tej cieczy. Gęstość względną wyraża się wzorem:
ciężar właściwy Ciężar przypadający na objętość jednostkową:
objętość właściwa Stosunek objętości cieczy do masy (odwrotność gęstości):
współczynnik rozszerzalności cieplnej
Stosunek zmiany jednostki objętości płynu w wyniku zmiany temperatury o jednostkę temperatury
współczynnik ściśliwości Stosunek zmiany jednostki objętości płynu pod wpływem zmiany ciśnienia o jednostkę
right ciepło właściwe Jest to energia potrzebna do podniesienia temperatury jednostki masy ciała o jednostkę temperatury:
Oznaczenia: – siła, – masa, – liczba cząsteczek, – ciśnienie, – entropia, – temperatura, – objętość.
Prawa hydrostatyki thumb|400px|Rys. 3. Ciała częściowo zanurzone w cieczy thumb|350px|Rys. 4. Objętość różniczkowa Istnieją trzy podstawowe prawa, które odgrywają ogromną rolę w hydrostatyce:
Prawo Archimedesa Prawo Archimedesa brzmi: Na ciało zanurzone w płynie działa pionowa, skierowana ku górze siła wyporu. Wartość siły jest równa ciężarowi wypartej cieczy (gazu). Siła jest przyłożona w środku ciężkości wypartej cieczy (gazu).
Prawo to pomaga też wyjaśnić zachowanie się ciał częściowo zanurzonych w wodzie (pływających). Ciało częściowo zanurzone w wodzie (rys. 3) ma środek ciężkości (SC) oraz środek wyporności (SW). Przy zmianie kąta pochylenia położenie środka wyporności ulega zmianie, a ciało może wrócić do pozycji początkowej (stabilne) lub odchylić się całkowicie (niestabilne). O tym czy ciało jest stabilne czy nie, decyduje położenie metacentrum (MC). Metacentrum jest punktem, w którym oś ciała przecina się z linią pionową przecinającą środek wyporności. Dla małych zmian kąta pochylenia jego położenie jest niezależne od kąta. Jeżeli metacentrum znajduje się powyżej środka ciężkości to ciało pod wpływem powstałego układu sił wróci do stanu początkowego (rys. 3b). Jeżeli natomiast metacentrum leży poniżej środka ciężkości ciało pochyli się całkowicie (rys. 3c). Odcinek od metacentrum do środka ciężkości nazywa się wysokością metacentryczną. Obliczenia takie stosuje się np. przy projektowaniu statków. Statki projektuje się tak, aby były one jak najbardziej stateczne i w razie przechylenia samoczynnie wracały do pozycji początkowej.
Prawo Eulera Sformułowane przez Eulera w 1755 roku mówi, żeM. Serwiński, Zasady inżynierii chemicznej – operacje jednostkowe, Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, Warszawa 1971.:
Na płaskie ciało zanurzone w cieczy działa ciśnienie, którego wartość jest niezależna od orientacji tego ciała w przestrzeni.
W celu otrzymania matematycznej zależności opisującej to prawo rozpatrzmy różniczkową objętość płynu o podstawie trójkątnej i wysokości b (rys. 4). Płyn znajduje się w stanie równowagi (spoczynku). W stanie równowagi suma sił w poszczególnych kierunkach musi być równa zero:
thumb|350px|Rys. 5. Pionowy rozkład ciśnienia w naczyniu
Ponieważ:
Po podstawieniu otrzymujemy ostatecznie:
Prawo Pascala Prawo Pascala mówi, że jeżeli na ciecz lub gaz w zbiorniku zamkniętym wywierane jest ciśnienie zewnętrzne, to ciśnienie wewnątrz zbiornika jest wszędzie jednakowe i równe ciśnieniu zewnętrznemu.
Prawo to jest spełnione dla cieczy, na którą działają jedynie siły powierzchniowe. Oznacza to, że dotyczy cieczy, które nie znajdują się w polu sił grawitacyjnych. W warunkach rzeczywistych (gdy na ciecz działają dodatkowo siły grawitacji) cząsteczki z niższych warstw cieczy muszą „udźwignąć” cząsteczki znajdujące się nad nimi. Powoduje to różnice ciśnień między górną a dolną warstwą cieczy. Prawo często stosuje się w inżynierii (np. przy konstrukcji pras hydraulicznych, akumulatorów ciśnienia oraz tam).
Płaszczyzna zanurzona w cieczy thumb|300px|Rys. 6. Płaszczyzna zanurzona w cieczy Ciało (płaskie) zanurzone w cieczy podlega działaniu sił (rys. 6)F.Kreith, Mechanical Engineering Handbook, CRC Press, 1999, .F.M.White, Fluid Mechanics, McGraw-Hill, 2003, .. Jeżeli pominie się siłę ciężkości tego ciała i założy, że działają na nie tylko siły powierzchniowe, to przy obliczeniach uwzględnia się jedynie siły pochodzące od cieczy. Ponieważ powierzchnia jest nachylona pod kątem to na każdy element powierzchni działa inne ciśnienie pochodzące od cieczy (ponieważ każdy element powierzchni leży na innej głębokości) natomiast ciśnienie atmosferyczne jest jednorodne dla całej powierzchni. Siłę wypadkową można zapisać jako sumę iloczynów wszystkich nieskończenie małych elementów powierzchni i ciśnień na nie padających:
Jeżeli rozpiszemy ciśnienie jako sumę ciśnienia atmosferycznego (stałego) i ciśnienia pochodzącego od cieczy to otrzymamy:
Jeżeli przyjmiemy to wyrażenie to można zapisać jako:
Ponieważ średnie (dla punktu C – środka ciężkości) równa się:
Stąd ostatecznie:
Obliczona siła wypadkowa przyłożona jest w punkcie P – środku ciśnienia. Jego współrzędne oznaczymy jako oraz Aby obliczyć te współrzędne dodajemy momenty sił względem środka ciężkości i uzyskujemy postać równania:
Po przekształceniu:
Jeżeli wprowadzimy
to otrzymamy:
Ponieważ
gdzie – moment bezwładności.
Przekształcając równanie możemy obliczyć odległość od środka ciężkości:
Analogicznie obliczenia przeprowadza się dla współrzędnej
Wartości momentów bezwładności dla najczęściej spotykanych figur płaskich podano w tabelach poniżej. Kształt 100px Kształt 100px Kształt 100px
Kształt 100px Kształt 100px
Ciecz w stanie bezwładności thumb|250px|Rys. 7. Ciecz w stanie bezwładności Jeżeli umieścimy ciecz w wirówce i poddamy działaniu sił to po pewnym czasie cała ciecz zostanie wprawiona w ruch i osiągnie stan bezwładności, zachowując się jak sztywne ciało. Ciecz znajdująca się w takim stanie jest przedmiotem badań hydrostatyki.
Aby opisać ciecz zachowującą się jak ciało sztywne, kręcące się wokół osi należy uwzględnić oprócz sił ciężkości, wynikających z przyspieszenia ziemskiego, również siły odśrodkowe, wynikające z przyspieszenia skierowanego do osi obrotu.
Zakładamy, że ciało obraca się ze stałą prędkością kątową Promień obrotu, który łączy oś obrotu z objętością różniczkową, którą badamy, oznaczamy jako
Przyspieszenie zgodnie z zasadami mechaniki (kinetyki) jest równe:
gdzie
Gradient ciśnienia równa się zmianie siły objętościowej:
Aby uzyskać wyrażenie na wartość ciśnienia całkujemy drugie równanie otrzymując:
gdzie to stała wyrażona jako funkcja '. Następnie różniczkujemy po
I przyrównując do równania wcześniej otrzymanego:
Całkujemy:
gdzie to stała całkowania. Z warunków początkowych (dla i ) otrzymujemy równanie na wartość ciśnienia:
Pomiar ciśnienia
thumb|350px|Rys. 8. U-rurki