thumb|249x249px|Kurs akcji Telekom Austria 20.11.2000 - 17.03.2006 jest przykładem niestacjonarnego procesu stochastycznego. thumb|Symulowana komputerowo realizacja procesu Wienera (ruchu Browna) na powierzchni kuli. Proces Wienera należy do najważniejszych i najlepiej zbadanych procesów stochastycznych.|250x250px
Proces stochastyczny, proces losowy (gr. στοχαστικός (stochastikós) 'będący wynikiem domysłu') – rodzina zmiennych losowych, określonych na pewnej przestrzeni probabilistycznej o wartościach w pewnej przestrzeni mierzalnej. Najczęściej jest to rodzina zmiennych losowych, która opisuje ewolucję zjawiska losowego w czasie. Rozpatruje się również procesy indeksowane punktami przestrzeni; nazywa się je polami losowymi.
Przykłady procesów stochastycznych zapis drgań środka ciężkości samochodu w zależności od czasu, rejestracja prądów EKG i EEG pacjenta, zmian jego ciśnienia krwi czy temperatury ciała, ruchy Browna cząstki umieszczonej w płynie, ruch cząsteczki w gazie lub cieczy, rejestracja cząstek wpadających do licznika Geigera w zależności od czasu, fluktuacje kursu euro na giełdzie.
Przy powtórzeniu powyższych doświadczeń otrzyma się na ogół inny ich przebieg; są to procesy losowe, niedeterministyczne.
Definicje Niech będzie niepustym podzbiorem osi rzeczywistej. Dowolny element ze zbioru nazywa się umownie chwilą.
Def. 1 Procesem stochastycznym nazywa się funkcję, która każdej chwili przyporządkowuje pewną zmienną losową określoną na ustalonej przestrzeni probabilistycznej .
Dla procesu stosuje się również oznaczenie
Def. 2 Wartością procesu w chwili nazywa się zmienną losową
Def. 3 Realizacją (trajektorią) procesu nazywa się funkcję rzeczywistą zmiennej , przy ustalonym zdarzeniu elementarnym .
Każdemu zdarzeniu elementarnemu odpowiada jedna trajektoria.
Def. 4 Przestrzenią stanów procesu nazywa się zbiór wszystkich możliwych wartości, jakie mogą przyjmować zmienne dla dowolnych oraz .
Def. 5 Procesem z czasem dyskretnym lub ciągiem czasowym nazywa się procesy o przeliczalnym zbiorze . W niektórych źródłach takie procesy nazywa się szeregami czasowymi, choć zwykle termin ten odnosi się do realizacji takiego procesu.
Def. 6 Procesem z czasem ciągłym nazywa się proces, w których jest przedziałem zbioru liczb rzeczywistych.
Def. 7 Łańcuchem Markowa nazywa się spełniający własność Markowa („brak pamięci”) proces stochastyczny, w którym zarówno jak i czas przyjmują wartości dyskretne.
Przykłady Błądzenie losowe. Cząstka rozpoczyna ruch w punkcie osi liczbowej i wykonuje skok w prawo o jednostkę z prawdopodobieństwem albo wykonuje skok w lewo z prawdopodobieństwem w każdej chwili niezależnie od poprzednich położeń. Proces , gdzie oznacza pozycję cząstki w chwili , nazywa się błądzeniem losowym.
Dyskretny biały szum. Jeżeli ciąg jest złożony z niezależnych zmiennych losowych o wartości oczekiwanej równej zero i wariancji równej , to nazywa się go białym szumem. Proces taki może opisywać np. zakłócenia, nakładające się na sygnał podczas transmisji.
Procesy stacjonarne
Def. 8 Proces stochastyczny nazywamy procesem stacjonarnym w węższym sensie, jeżeli dla każdego łączny rozkład
nie zależy od Innymi słowy, właściwości takiego procesu nie zmieniają się przy przesunięciu osi czasu.
Def. 9 Proces stochastyczny nazywamy procesem stacjonarnym w szerszym sensie, jeżeli:
1. wartość oczekiwana jest stała, tj. nie zależy od
,
2. dla każdego
co oznacza, że wariancja ma skończoną wartość,
3. funkcja kowariancji zmiennych losowych oraz dla dowolnych chwil
zależy wyłącznie od różnicy , tzn. istnieje funkcja taka że
Funkcję nazywa się funkcją korelacyjną.
Tw. 1 Każdy proces stacjonarny w węższym sensie i posiadający funkcję korelacji jest stacjonarny w szerszym sensie, ale nie odwrotnie. Jednak w klasie procesów gaussowskich oba pojęcia są równoważne.
Modyfikacje procesów stochastycznych Def. 10 Procesy stochastyczne oraz nazywamy wzajemnymi modyfikacjami, gdy dla każdego
Def. 11 Modyfikację procesu nazywamy ciągłą, gdy dla każdego trajektoria
jest ciągła.
Konstruowanie procesów stochastycznych W aksjomatyzacji teorii prawdopodobieństwa środkami teorii miary, podstawowym zadaniem jest konstrukcja sigma-algebry zbiorów mierzalnych w przestrzeni wszystkich funkcji i zbudowanie na niej skończonej miary. W tym celu tradycyjnie używa się metody zwanej rozszerzeniem Kołmogorowa.
Rozszerzenie Kołmogorowa Rozszerzenie Kołmogorowa przebiega według następującego schematu: zakładając, że miara prawdopodobieństwa na przestrzeni wszystkich funkcji istnieje, może być ona użyta do zdefiniowania rozkładu prawdopodobieństwa dla skończenie-wymiarowych zmiennych losowych Teraz, z tego -wymiarowego rozkładu prawdopodobieństwa możemy uzyskać -wymiarowe rozkład brzegowy dla Istnieje oczywisty warunek zastosowania metody, mianowicie taki, że ten rozkład brzegowy musi być taki sam jak ten uzyskany z w pełni rozwiniętego procesu stochastycznego. Kiedy wyrazimy ten warunek w kategoriach gęstości rozkładów, rezultatem będzie równanie Chapmana-Kołmogorowa-Smoluchowskiego.
Twierdzenie o rozszerzeniu Kołmogorowa gwarantuje istnienie procesu stochastycznego z daną rodziną skończenie-wymiarowych rozkładów prawdopodobieństwa spełniających warunek Chapmana-Kołmogorowa.
Czego rozszerzenie Kołmogorowa nie obejmuje W aksjomatyzacji Kołmogorowa, zbiory mierzalne są zbiorami, które mają prawdopodobieństwo, innymi słowy, zbiorami dla których pytania tak/nie mają probabilistyczną odpowiedź.
Rozszerzenie Kołmogorowa zaczyna się deklaracją, że mierzalne są wszystkie zbiory funkcji, gdzie skończenie wiele współrzędnych leży w mierzalnych podzbiorach Innymi słowy, jeśli na pytania tak/nie o można uzyskać odpowiedź, biorąc co najwyżej skończoną liczbę współrzędnych, wtedy pytanie ma probabilistyczną odpowiedź.
W teorii miary, jeśli mamy przeliczalną rodzinę mierzalnych zbiorów, wtedy suma i przecięcia wszystkich tych zbiorów jest zbiorem mierzalnym. Dla naszych celów oznacza to, że te pytania tak/nie, które zależą od przeliczalnie wielu współrzędnych, mają probabilistyczną odpowiedź.
Rozszerzenie Kołmogorowa umożliwia konstruowanie procesów stochastycznych z ustalonymi skończenie-wymiarowymi rozkładami. Każde pytanie, które można zadać na temat ciągu, ma także probabilistyczną odpowiedź dla ciągów losowych. Z drugiej strony, pewne pytania o funkcje określone na ciągłej dziedzinie nie mają probabilistycznej odpowiedzi. Niestety większość problemów analizy matematycznej należy do tej kategorii, w szczególności: ograniczoność, ciągłość, różniczkowalność.
Wszystkie wymagają znajomości nieprzeliczalnie wielu wartości funkcji.
Jednym z rozwiązań jest zdefiniowanie procesu stochastycznego jako rozkładalnego. Innymi słowy, że istnieje policzalny zbiór współrzędnych którego wartości definiują całą funkcję losową
Najważniejsze typy procesów stochastycznych procesy Bernoulliego procesy Wienera procesy Markowa, gdzie stany w bezpośredniej przyszłości zależą tylko od stanu aktualnego procesy Poissona procesy stacjonarne procesy homogeniczne: procesy, gdzie dziedzina posiada pewną symetrię oraz skończenie-wymiarowe rozkłady prawdopodobieństwa także mają tę symetrię; specjalny przypadek obejmuje proces stacjonarny procesy o przyrostach niezależnych: procesy, gdzie dziedzina jest przynajmniej częściowo uporządkowana i jeśli to wszystkie zmienne są niezależne procesy punktowe: losowe ustawienia punktów w przestrzeni procesy gaussowskie: procesy utworzone za pomocą kombinacji liniowych zmiennych losowych, z których każda ma rozkład normalny martyngały procesy Galtona-Watsona procesy gałązkowe ruchy Browna
błądzenie losowe
Zobacz też rozkład prawdopodobieństwa funkcja gęstości prawdopodobieństwa ciągły rozkład prawdopodobieństwa dyskretny rozkład prawdopodobieństwa papuga stochastyczna
Przypisy
Bibliografia Lesław Gajek, Marek Kałuszka, Wnioskowanie statystyczne Modele i metody, Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, Warszawa 1993, str. 116-141 (Rozdział 6 Procesy stochastyczne), str. 142-160 (Rozdział 7 Zadanie estymacji procesów stochastycznych). Lech T. Kubik, Andrzej Krupowicz, Wprowadzenie do rachunku prawdopodobieństwa i jego zastosowań, Warszawa 1982, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, str. 403-454. Donald A. McQuarrie, Matematyka dla przyrodników i inżynierów, tom 3, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2006, str. 191-211.
Linki zewnętrzne Informacje o procesach stochastycznych podane w przystępny sposób