Para uporządkowana – każdy obiekt matematyczny powstały z dowolnych dwóch elementów w którym może być określony jako pierwszy, a jako drugi element pary; nazywa się je odpowiednio poprzednikiem oraz następnikiem paryHelena Rasiowa, Wstęp do matematyki współczesnej, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1968.Encyklopedia szkolna. Matematyka, Wydanie trzecie zmienione i poprawione, Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne, Warszawa 1997, s. 269 . (w innych kontekstach używa się też innych określeń, np. pierwsza/druga współrzędna, rzut lewo-/prawostronny).
Parę złożoną z wymienionych elementów oznacza się zwykle symbolem ; choć stosuje się także i pewne inne notacje, w przypadkach, kiedy napis – wedle przyjętych umów dotyczących oznaczeń, w ramach określonego dyskursu – można byłoby istotnie, zinterpretować w sposób rozbieżny z zamierzonym, rozumiejąc jako pewien inny obiekt matematyczny (np. jako przedział otwarty w zbiorze liczb rzeczywistych; do którego także powszechnie stosuje się ów oznaczenie). Jednym z kilku innych używanych wówczas oznaczeń, jest (którym oznacza się również iloczyn skalarny, np. w analizie funkcjonalnej).
Własność
Podstawową własnością par uporządkowanych jest następujące: Własność charakteryzująca wtedy i tylko wtedy, gdy oraz .
Wynika stąd, że wtedy i tylko wtedy, gdy .
Uwaga. Parę uporządkowaną należy odróżniać od pary nieuporządkowanej , która jest zbiorem utworzonym z elementów ; toteż: .
Uwaga. Prototypowym przykładem pary uporządkowanej są współrzędne punktu na płaszczyźnie.
Iloczyn kartezjański Zbiór wszystkich par uporządkowanych, których poprzednik należy do zbioru a następnik do zbioru nazywa się iloczynem kartezjańskim oraz oznaczanym symbolem
Relacja dwuargumentowa nad dziedziną jest formalnie definiowana jako zbiór tych par które pozostają w danej relacji, a zatem jest podzbiorem iloczynu kartezjańskiego
W teorii mnogości pojęcie funkcji definiuje się jako zbiór par uporządkowanych a więc też jako podzbiór iloczynu kartezjańskiego
Definicje teoriomnogościowe Pojęcie pary uporządkowanej, intuicyjnie oczywiste, sprawia poważne trudności przy próbach zdefiniowania go w terminach aksjomatycznej teorii mnogościZ. Semadeni, Trudności epistemologiczne związane z pojęciami: pary uporządkowanej i funkcji, Roczniki Polskiego Towarzystwa Matematycznego. Seria V: Dydaktyka Matematyki, t. 24 (2002), s. 119–144.. Nie można bowiem wtedy użyć takich określeń jak np. „kolejność elementów” czy „pierwsze miejsce”. Felix HausdorffF. Hausdorff, Grundzüge der Mangenlehre, Leipzig, 1914. był świadom, że jego definicja, w której używał symboli i ma ten mankament, że owe i nie mogą być symbolami liczb 1 i 2: gdy lub byłyby liczbami 1 lub 2 doszłoby do kolizji oznaczeń.
Własność charakterystyczna par uporządkowanych, wspomniana wyżej, jest wszystkim co konieczne do zrozumienia istoty par uporządkowanych w matematyce. Dlatego para uporządkowana może być postrzegana jako pojęcie pierwotne, którego aksjomatem jest wspomniana własność charakteryzująca. Podejście to wykorzystywała grupa N. Bourbakiego w swojej Teorii mnogości wydanej w 1954 roku.
Niżej podano kilka definicji teoriomnogościowych pary uporządkowanej.
Definicja Wienera Pierwszą teoriomnogościową definicję pary uporządkowanej zaproponował w 1914 roku Norbert WienerPraca Wienera „A Simplification of the logic of relations” została przedrukowana wraz z wartościowym komentarzem na stronach 224nn w van Heijenoort, Jean (1967), From Frege to Gödel: A Source Book in Mathematical Logic, 1979–1931, Harvard University Press, Cambridge MA, (pbk.). van Heijenoort wyraża uproszczenie w następujący sposób: „Zdefiniowanie pary uporządkowanej dwóch elementów za pomocą operacji klasowych sprawia, iż uwaga redukuje teorię relacji do teorii klas”. (By giving a definition of the ordered pair of two elements in terms of class operations, the note reduced the theory of relations to that of classes).:
Zauważył on, że definicja ta umożliwiła zdefiniowanie typów Principia mathematica za pomocą zbiorów. W Principia Mathematica używano typów, dlatego relacje wszystkich arności są pojęciami pierwotnymi.
Definicja Hausdorffa Mniej więcej w tym samym czasie co Wiener (1914) swoją definicję zaproponował Felix Hausdorff:
„gdzie i są dwoma różnymi obiektami różnymi od i Zob. wprowadzenie do pracy Wienera w van Heijenoort 1967:224.. Jeżeli pominiemy warunek na a i b, to definicja dalej pozostaje prawidłowa (jednoznaczność reprezentacji zostanie zachowana), ale dla a=2, b=1 para redukuje się do zbioru jednoelementowego tj. (2,1) = { {2,1}, {1,2} } = { {1,2} } co może być kłopotliwe w niektórych zastosowaniach).
Zaletą tej definicji jest to, że każdy elementy pary występuje dokładnie jeden raz w wyjściowej formule.
Definicja Kuratowskiego W 1921 roku Kazimierz Kuratowski przedstawił do dzisiaj przyjmowaną definicjęHelena Rasiowa, Wstęp do matematyki współczesnej, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2012, s. 60.Zob. wprowadzenie do pracy Wienera w van Heijenoort 1967:224. van Heijenoort zauważa, że zbiór wynikowy, który reprezentuje parę uporządkowaną „ma typ wyższy o 2 od swoich elementów (jeśli są tego samego typu)” (has a type higher by 2 than the elements (when they are of the same type)); przedstawia również źródła, które, pod pewnymi warunkami, pokazują jak typ może być zredukowany do czy pary uporządkowanej Jacek Cichoń, Wykłady ze wstępu do matematyki, s. 131, Definicja C.1..
Definicja pozostaje prawidłowa, jeśli pierwsza i druga współrzędna są identyczne, tzn.
Dla danej pary uporządkowanej własność „ jest pierwszym elementem” może być wyrażone jako
a własność „ jest drugim elementem ” jako
Należy zauważyć, że definicja ta jest dalej prawidłowa dla pary uporządkowanej
w tym przypadku wyrażenie jest spełnione trywialnie, ponieważ nigdy nie zachodzi przypadek
Inną metodą jest skorzystanie z działań iloczynu i sumy zbiorów:
Wtedy to jedyny element zbioru Uzyskanie wymaga rozważenia dwóch przypadków: jeśli to i jeśli to a więc czyli to jedyny element tego zbioru.
Warianty Powyższa definicja Kuratowskiego pary uporządkowanej jest „adekwatna” w tym sensie, iż spełnia własność charakteryzującą parę uporządkowaną (tzn. jeśli to i ), ale również arbitralna, ponieważ istnieje wiele innych adekwatnych definicji o podobnej lub mniejszej złożoności, jak na przykład:
Para „odwrócona” jest mało interesująca, ponieważ brak jej jakiejkolwiek oczywistej zalety (lub wady) względem pary Kuratowskiego. „Krótka” para jest tak nazywana, gdyż w jej definicji korzysta się z dwóch, a nie trzech, nawiasów. Ma ona jednak tę wadę, że dowód własności charakteryzującej parę (zobacz wyżej) wymaga użycia aksjomatu regularności (z ZFC). Co więcej, jeśli przyjmie się standardową definicję liczb naturalnych, to jest zbiorem który jest nieodróżnialny od pary
Dowód własności charakteryzującej Twierdzenie: wtedy i tylko wtedy, gdy oraz
Definicja Kuratowskiego Jeżeli to
oraz
stąd a więc
Jeżeli to wtedy
Załóżmy, że Wówczas i dlatego Ale wtedy również równałoby się czyli co przeczy
Założenie dające przeczy
Dlatego lub oraz
Jeżeli byłoby prawdą, że to sprzeczność. A więc i dlatego i
Odwrotnie: oraz to Stąd
Definicja odwrócona Prawdą jest, że Jeżeli to stąd oraz
W przeciwną stronę, jeżeli i to a więc
Definicja Quine’a-Rossera Rosser (1953)John Barkley Rosser, 1953. Logic for Mathematicians. McGraw-Hill. przyjął definicję pary uporządkowanej pod wypływem Willarda Van Ormana Quine’a, która wymaga wcześniejszego zdefiniowania liczb naturalnych. Niech będzie zbiorem liczb naturalnych oraz
Przyłożenie tej funkcji zwiększa o jeden liczbę naturalną w W szczególności nie zawiera liczby a więc dla dowolnych zbiorów oraz
Parę uporządkowaną definiuje się jako
Wydobycie wszystkich elementów z pary nie zawierających i anulowanie daje Podobnie można odzyskać z elementów pary zawierających
W teorii typów oraz w teoriach mnogości takich jak New Foundations, które zasadzają się na teorii typów, para ta ma ten sam typ co jej rzuty (stąd też nazywa się ją parą uporządkowaną „typ-poziom”). Dlatego definicja ta ma tę zaletę, iż funkcja zdefiniowana jako zbiór par uporządkowanych ma typ tylko o jeden wyższy niż typ jej argumentów. Szczegółowe informacje o parze uporządkowanej w kontekście teorii mnogości Quine’a znajdują się w pozycji Holmesa (1998)M. Randall Holmes: Elementary Set Theory with a Universal Set. Academia-Bruylant, 1998. Wydawca wyraził zgodę na udostępnienie tej monografii w sieci (prawa autorskie są zastrzeżone)..
Definicja Morse’a Teoria mnogości Morse’a-Kelleya (Morse, 1965)Anthony P. Morse: A Theory of Sets. Academic Press, 1965. korzysta w swobodny sposób z klas właściwych. Morse zdefiniował parę uporządkowaną tak, aby jej rzuty mogły być, obok zbiorów, klasami właściwymi (definicja Kuratowskiego na to nie zezwala). Najpierw zdefiniował on pary uporządkowane, których rzuty są zbiorami, na modłę Kuratowskiego. Następnie przedefiniował parę jako gdzie składowe iloczyny kartezjańskie są parami Kuratowskiego na zbiorach. To właśnie ten drugi krok sprawia, że prawidłowe są pary, których rzuty są klasami właściwymi. Powyższa definicja Quine’a-Rossera również umożliwia użycie klas właściwych jako rzutów.
Trójki, czwórki... n-ki uporządkowane
n-ka oparta na zagnieżdżaniu par Pary uporządkowane mogą mieć za elementy inne pary uporządkowane. Z tego powodu para uporządkowana może służyć definicji rekurencyjnej krotek (n-tek) uporządkowanych (uporządkowanych list n-elementowych). Na przykład trójka uporządkowana może być zdefiniowana jako jedna para zagnieżdżona w innej. To podejście znajduje swoje odzwierciedlenie w językach programowania komputerów, gdzie można skonstruować listę elementów za pomocą zagnieżdżonych par uporządkowanych: lista oznacza Język Lisp używa tego typu list jako podstawowej struktury danych.
Za pomocą pojęcia pary uporządkowanej można zdefiniować indukcyjnie kolejno trójki, czwórki, piątki... n-tki uporządkowane. W żargonie informatycznym pojęcia te występują zbiorczo pod nazwą krotek (n-elementowych).
Dla n-tkę uporządkowaną
definiuje się jako parę uporządkowaną
lub
Do celów technicznych można przyjąć umowę, że
oraz
Praktyczną wadą tak zdefiniowanej n-ki, w przypadku gdy używana jest definicja pary, która zawiera duplikaty elementów pary (np. po prawej stronie równości używa dwa razy elementu 'a') polega na tym, że długość formuł końcowych rośnie wykładniczo w stosunku do n.
n-ka oparta na ciągu
n-ka zdefiniowana jako poniższy zbiór par o postaci gdzie to pozycja elementu
zbiór ten jednocześnie jest wykresem pewnej funkcji definiującej ciąg (tj. , takiej że , gdzie , , oraz dla pewnego zbioru ).
Przypisy
Kategoria:Teoria mnogości