mały|Wykres funkcji narysowanej na czarno i linii stycznej do tej funkcji, narysowanej na czerwono. Nachylenie linii stycznej jest równe pochodnej funkcji w zaznaczonym punkcie.
Pochodna funkcji – nieformalnie: miara szybkości funkcji, czyli tempa zmian jej wartości względem zmian jej argumentów, 4.5-1 (a).. Dokładna definicja pochodnej zależy od kontekstu, ponieważ pojęcie to stosuje się do funkcji różnego typu; jednak w każdym z tych przypadków pochodna to granica ilorazu różnicowego dla zerowego mianownika.
Dziedziną rozważanej funkcji może być podzbiór przestrzeni euklidesowej dowolnego wymiaru, inna rozmaitość różniczkowalna lub płaszczyzna zespolona, a zbiorem wartości mogą być oś rzeczywista, zbiór wektorów kartezjańskich lub także liczby zespolone. W niektórych przypadkach pochodna jest pojedynczą liczbą rzeczywistą lub zespoloną, a w innych – całym wektorem (kolumną); za to pochodne wyższych rzędów (iterowane) mogą być nawet macierzami i to wielowskaźnikowymi jak tensory.
Od czasu wprowadzenia w XVII w. pochodne odgrywają ogromną rolę w całej analizie matematycznej i poza nią. Są podstawowym narzędziem znajdowania ekstremów i przegięć, badania monotoniczności i wypukłości funkcji, rozwijania ich w szereg potęgowy (szereg Taylora), obliczania rozmaitych przybliżeń (metody numeryczne), a podstawowe twierdzenie rachunku całkowego mówi, że przez odwrócenie operacji pochodnej – czyli znalezienie funkcji pierwotnej – można wykonać całkowanie w sensie oznaczonym, m.in. obliczając rozmaite pola powierzchni, długości krzywych, objętości, prawdopodobieństwa i inne miary. Dodatkowo pochodna formalna jest narzędziem stosowanym w algebrze wielomianów traktowanych abstrakcyjnie, w oderwaniu od zmiennych rzeczywistych czy zespolonych.
Za pomocą pochodnych definiuje się podstawowe wielkości fizyczne jak prędkość chwilowa, chwilowe przyspieszenie i wyższe pochodne położenia po czasie, natężenie prądu elektrycznego, rozmaite gradienty i inne. Przez to podstawowe równania fizyki teoretycznej są na ogół równaniami różniczkowymi – wiążącymi szukaną zależność (funkcję) z jej pochodnymi.
Pochodna funkcji zmiennej rzeczywistej o wartościach rzeczywistych thumb|Animacja, która daje intuicyjny pomysł na pochodną, ponieważ „zmiana” funkcji zmienia się, gdy zmienia się argument.
Niech będzie funkcją rzeczywistą zmiennej rzeczywistej określoną w otoczeniu punktu Istnienie takiego otoczenia oznacza istnienie pewnej liczby rzeczywistej że funkcja jest określona na przedziale . Pochodną funkcji w punkcie nazywamy granicę (o ile istnieje):
co symbolicznie zapisuje się w jednej z postaci: ,
We wzorze tym: jest przyrostem zmiennej niezależnej jest przyrostem zmiennej zależnej Wyrażenie nazywa się ilorazem różnicowym; jest on funkcją przyrostu zmiennej niezależnej.
Jeżeli przyjmie się, że to pochodną w punkcie można zapisać następująco:
Często w publikacjach przyrost oznacza się literą Wtedy pochodna jest równa. Taki sposób zapisu uwypukla fakt, że iloraz różnicowy jest funkcją :
Jeśli funkcja ma pochodną dla każdego elementu swej dziedziny to można rozważać odwzorowanie przypisujące każdemu argumentowi, jego pochodną dla tego elementu. Przekształcenie to nazywa się funkcją pochodną funkcji lub krótko: pochodną w dalszej części artykułu będzie ono oznaczane symbolem – pozostałe oznaczenia opisano w oddzielnej sekcji – w ten sposób oznaczać będzie pochodną funkcji dla argumentu w tym wypadku również jest funkcją zmiennej rzeczywistej o wartościach rzeczywistych.
Własności funkcji pochodnej iloczyn pochodnej przez stałą
pochodna sumy funkcji (addytywność)
pochodna iloczynu funkcji (reguła Leibniza)
pochodna złożenia funkcji (reguła łańcuchowa)
pochodna funkcji odwrotnej
pochodna odwrotności funkcji (reguła odwrotności)
pochodna ilorazu funkcji (reguła ilorazu)
Pochodna jako operator – czyli odwzorowanie na zbiorze funkcji różniczkowalnych – ma zbiory niezmiennicze, między innymi: wielomiany – pochodna wielomianu jest wielomianem; funkcje wymierne; różniczkowalne funkcje okresowe.
Pochodne niektórych funkcji elementarnych
Istnieje pewien zestaw funkcji uważanych za elementarne, które wykorzystuje się do obliczania pochodnych bardziej skomplikowanych funkcji i ich złożeń; niech oznacza stałą, zaś będzie liczbą naturalną, wówczas:
funkcje stałeJeżeli to wprost z definicji zachodzi i funkcje potęgoweSkoro
to biorąc obustronnie granicę przy uzyskuje się wynik.Podany wzór zachodzi dla liczby naturalnej wzór na pochodną odwrotności funkcji umożliwia rozszerzenie wzoru na wykładniki całkowite z ciągłości wzór jest prawdziwy dla liczby rzeczywistej ,
funkcje wykładniczeZ definicji, jeśli to
przy czym ostatnia granica jest własnością funkcji wykładniczej. i logarytmicznePonieważ
to podstawiając otrzymuje się dalej
Z reguły ilorazu jest
funkcje trygonometryczneZ tożsamości trygonometrycznych (ostatnie również z reguły ilorazu):
funkcje cyklometryczneNiech wtedy też Wówczas z reguły o pochodnej funkcji odwrotnej jest
Znak pierwiastka jest dodatni, gdyż z ostatniej równości jest
Analogicznie dla oraz przy czym tym razem znak pierwiastka jest ujemny, bo przez co
Podobnie dla jest oraz skąd ,
wszędzie, gdzie powyższe wzory mają sens.
Inne przykłady pochodnych Pochodna o własności istnieje i zachodzi dla funkcji (przy sprawdzeniu korzystamy z równości oraz ) – we wzorze tym pojawia się złoty podział.
Pochodne wyższego rzędu Jeżeli pochodna funkcji istnieje w każdym punkcie przedziału otwartego to otrzymujemy funkcję taką że dla
Funkcję tę nazywamy pierwszą pochodną funkcji Ta funkcja może być również różniczkowalna w każdym punkcie przedziału Różniczkując ją, otrzymujemy drugą pochodną funkcji dla
Oznaczamy to następująco: lub
Ogólnie pochodną rzędu określamy rekurencyjnie: lub
Przykłady
-tą pochodną iloczynu funkcji można wyrazić za pomocą pochodnych czynników oraz współczynników Newtona wzorem:
Zastosowania w fizyce Prędkość chwilowa Załóżmy, że ciało porusza się wzdłuż prostej tak że oznacza zależność współrzędnej ustalonego punktu ciała od czasu Droga przebyta przez to ciało w przedziale czasu wynosi
Prędkością średnią na tym odcinku jest wielkość:
Prędkość chwilowa w momencie jest równa:
Natężenie prądu Prąd elektryczny jest to uporządkowany ruch ładunków elektrycznych wzdłuż przewodnika. Niech oznacza ładunek przepływający przez ustalony przekrój przewodnika w czasie Wówczas wielkość
nazywa się średnim natężeniem prądu.
Chwilowym natężeniem prądu jest wielkość:
Gęstość rozkładu masy Załóżmy, że mamy pręt o długości taki że masa części tego pręta liczona od początku do punktu dana jest funkcją Wtedy masa zawarta w przedziale wynosi:
Średnia gęstość masy na tym przedziale jest równa:
W granicy
otrzymuje się gęstość masy w punkcie .
Pojęcie gęstości masy jest używane w rachunku prawdopodobieństwa i statystyce. Np. dla zmiennej losowej zależnej od jednej zmiennej przyjmuje się, że „masa” liczona od do jest równa 1 i definiuje się gęstość masy (lub gęstość prawdopodobieństwa) wzdłuż prostej.
Geometryczny sens pochodnej Styczna do wykresu funkcji
Elementarna definicja stycznej do okręgu jako prostej mającej dokładnie jeden (tzn. jeden i tylko jeden) punkt z nim wspólny nie jest wystarczający dla innych krzywych (patrz rysunki powyżej). thumb|250px|Styczna w punkcie jako granica siecznych thumb|250px|Styczna i sieczna do krzywej Γ.
W matematyce styczną do krzywej w punkcie (patrz rysunek obok) jest prosta, będąca granicą siecznych do krzywej przechodzących przez punkty i gdy dąży do Granica ta nie zawsze istnieje, ale jej istnienie związane jest z istnieniem pochodnej funkcji wyznaczającej tę krzywą.
Niech będzie dana funkcja ciągła na przedziale otwartym Jej wykres Γ (kolor czerwony na rysunku) jest nazywany krzywą ciągłą. Współczynnik kierunkowy siecznej (kolor niebieski na rysunku) przechodzącej przez punkty i należące do przedziału jest równy (patrz rysunek obok):
Wtedy współczynnik kierunkowy stycznej w punkcie (kolor zielony na rysunku) jest równy:
Różniczka funkcji thumb|250px|Zaznaczona niebieskim kolorem styczna do funkcji dla argumentu tj. w punkcie wraz z zaznaczonymi różniczkami.
Różniczka funkcji w punkcie to funkcja liniowa (tzn. dana wzorem ) taka, że przyrost funkcji w punkcie da się zapisać w postaci
gdzie reszta ma własność
Wynika z tego, że różniczka funkcji to najlepsze liniowe przybliżenie przyrostu funkcji.
Funkcję oznacza się lub podobnie. Różniczka funkcji jest ważnym pojęciem, ponieważ stanowi punkt wyjścia do zdefiniowania pochodnej funkcji
Równoważnie różniczkę można zdefiniować jako funkcję liniową taką, że
Twierdzenie o związku pomiędzy różniczką i pochodną Zachodzi następujące twierdzenie:
Funkcja jest różniczkowalna w punkcie wtedy i tylko wtedy, gdy ma w tym punkcie różniczkę Ponadto różniczka jest określona jednoznacznie i jest dana wzorem .
Dowód. Załóżmy, że jest różniczkowalne w punkcie tzn. istnieje pochodna Definiujemy funkcję wzorem
oraz funkcję określoną w pewnym otoczeniu punktu (tzn. dla na tyle małych, że ) wzorem
Widzimy, że przyrost da się przedstawić w postaci
Ponadto reszta ma własność
Wynika z tego, że dane wzorem jest różniczką funkcji w punkcie
Na odwrót: załóżmy, że funkcja ma w punkcie różniczkę daną wzorem
Wówczas
Czyli funkcja jest różniczkowalna w punkcie Ponadto i różniczka jest dana wzorem
Postać kanoniczna różniczki W szczególności można badać różniczkę funkcji identycznościowej na tzn. funkcji danej wzorem
Funkcja jest różniczkowalna na całym i jak wynika z treści poprzedniego podrozdziału jej różniczka jest dana wzorem
dla każdego
Z tego, a także z treści poprzedniego podrozdziału wynika, że różniczkę dowolnej funkcji różniczkowalnej w punkcie można w tym punkcie zapisać w postaci
którą nazywamy postacią kanoniczną.
Oznaczając przez a przez można powyższemu wzorowi nadać klasyczną postać
Przybliżanie przyrostu funkcji za pomocą różniczki Z definicji i z twierdzenia o związku pomiędzy różniczką i pochodną wynika, że różniczkę można wykorzystać do przybliżania przyrostu funkcji
dla dowolnego na tyle małego, że Przybliżenie to jest tym lepsze im mniejsze jest co do wartości bezwzględnej.
Przykład zastosowania różniczek JeśliPrzykład opracowany według podanego w: .:
to błąd jest w przybliżeniu równy różniczce funkcji w punkcie odpowiadającego przyrostowi
Badanie zmienności funkcji Pochodna a monotoniczność funkcji, ekstrema i punkty przegięcia Z twierdzenia Lagrange’a wynikają następujące własności pochodnejFichtenholtz, op. cit., s. 236–237.: Jeżeli funkcja jest różniczkowalna, to Jeśli to jest funkcją rosnącą na Jeśli to jest funkcją niemalejącą na Jeśli to jest funkcją malejącą na Jeśli to jest funkcją nierosnącą na Jeśli to jest funkcją stałą na
Z własności tych wynika, że ważnymi punktami dziedziny funkcji różniczkowalnej są miejsca zerowe jej pochodnej. Ponieważ funkcja różniczkowalna jest funkcją ciągłąFichtenholtz, op. cit., s. 171., więc jeśli funkcja jest określona na przedziale otwartym, to zbiory rozwiązań nierówności i są sumami przedziałów otwartych.
Zbiór miejsc zerowych pochodnej jest zbiorem domkniętym. Miejsca zerowe pierwszej pochodnej są bardzo ważne w badaniu funkcji. W praktyce obliczeniowej funkcje na ogół mają skończoną lub przeliczalną liczbę miejsc zerowych, które dzielą dziedzinę na przedziały otwarte, w których pochodna jest stale dodatnia lub stale ujemna. Wtedy każde miejsce zerowe albo oddziela dwa przedziały, na których pochodna przyjmuje jednakowe znaki, albo różne znaki. Stąd wynikają następujące definicje.
Funkcja przyjmuje w punkcie maksimum, jeśli istnieje takie otoczenie tego punktu że dla każdego zachodzi nierówność Fichtenholtz, op. cit., s. 241–242..
Dla funkcji różniczkowalnej oznacza to, że jeśli pochodna funkcji jest: dodatnia w przedziale równa zero w ujemna w przedziale
to funkcja ma w maksimum.