Współczynnik skośności (współczynnik asymetrii, skośność) to miara asymetrii rozkładu wartości cechy statystycznej wyznaczana najczęściej jako iloraz trzeciego momentu centralnego przez trzecią potęgę odchylenia standardowego:
gdzie to wartość trzeciego momentu centralnego, zaś to wartość odchylenia standardowego.
Współczynnik skośności przyjmuje wartości dodatnie dla rozkładów o prawostronnej asymetrii (wydłużone prawe ramię rozkładu), wartość zero dla rozkładu symetrycznego, wartości ujemne dla rozkładów o lewostronnej asymetrii (wydłużone lewe ramię rozkładu).
Definicje Def. 1 Rozkład nazywamy dodatnio skośnym (prawostronnie skośnym, prawostronnie asymetrycznym lub o prawostronnej asymetrii) jeżeli funkcja gęstości prawdopodobieństwa (dla rozkładów ciągłych) lub funkcja masy prawdopodobieństwa (dla rozkładów dyskretnych) po prawej stronie swojego centrum (średniej, mediany) lub dominanty (mody) maleje wolniej niż po lewej stronie (rozkład ma „prawy ogon dłuższy”).
Def. 2 Analogicznie definiuje się rozkład ujemnie skośny (lewostronnie skośny).
Średnia i mediana w rozkładach skośnych Rozkład dodatnio skośny ma zazwyczaj wartość oczekiwaną (średnią) większą od mediany, a ujemnie skośny ma zazwyczaj średnią mniejszą od mediany. Nie jest to jednak zależność uniwersalna – można wskazać kontrprzykłady.
Przykłady Rozkłady symetryczne:
rozkład normalny rozkład t-Studenta rozkład dwumianowy dla rozkład Cauchy’ego
Rozkłady dodatnio skośne (prawoskośne):
rozkład Poissona (skośność maleje wraz ze wzrostem parametru ; dla dużych zbliża się do symetrii) rozkład chi-kwadrat () (szczególnie silnie dla małej liczby stopni swobody) rozkład dwumianowy dla rozkład lognormalny rozkład wykładniczy rozkład gamma
Rozkłady ujemnie skośne (lewoskośne):
rozkład dwumianowy dla rozkład beta (dla odpowiednich parametrów, np.) rozkład trójkątny lewoskośny rozkład Weibulla (dla odpowiednich parametrów, w wersji lewoskośnej)
Inne współczynniki skośności Współczynnikiem asymetrii nazywa się również miary wyznaczone według poniższych wzorów:
gdzie: – średnia arytmetyczna, – mediana, – dominanta (moda), – odchylenie standardowe, – pierwszy i trzeci kwartyl, – odchylenie ćwiartkowe.
Może się zdarzyć, że dla tego samego rozkładu powyższe współczynniki będą miały różne znaki.
Przypisy
Kategoria:Miary asymetrii rozkładu