mały|Macierz składająca się z elementów rozmieszczonych w poziomych wierszach i pionowych kolumnach: element w drugim wierszu i pierwszej kolumnie macierzy oznaczony jest symbolem (zob. Wprowadzenie i oznaczenia).
W matematyce macierz to układ liczb, symboli lub wyrażeń zapisanych w postaci prostokątnej tablicy.
W algebrze liniowej macierze wprowadza się często jako sposób skondensowanego zapisu układów równań liniowych, co ma na celu wyeliminowanie powtarzających się elementów standardowej notacji układów równań tego rodzaju z wieloma niewiadomymiZasadniczo nazwy niewiadomych w poszczególnych równaniach kodowane są za pomocą ich pozycji w tablicy – zwykle kolejne równania (jak w zwyczajowej notacji) znajdują się w kolejnych wierszach, z kolei każdej niewiadomej odpowiada wybrana kolumna.. Macierze pozwalają również na reprezentowanie przekształceń liniowych, czy form dwuliniowych w sposób umożliwiający przeprowadzanie obliczeń. Ponieważ wiele przekształceń geometrycznych (jak na przykład obroty przestrzeni wokół początku układu współrzędnych) są przekształceniami liniowymi, macierze znajdują zastosowanie w geometrii analitycznej i grafice komputerowejTypowymi przykładami mogą być współrzędne jednorodne punktów świata przedstawionego, na których operuje się za pomocą wybranych macierzy przekształceń, czy kwaterniony w reprezentacji macierzowej służące przede wszystkim modelowaniu trójwymiarowych obrotów w sposób niewyróżniający żadnego kierunku (w obu przypadkach zwykle czterowymiarowe)..
Przykładami macierzy reprezentujących przekształcenia liniowe są pojawiające się w analizie wielowymiarowej macierze Jacobiego. Przykładami macierzy reprezentujących formy dwuliniowe są macierze Hessego w analizie wielowymiarowej oraz macierze kowariancji w rachunku prawdopodobieństwa i statystyce. Przykładem macierzy której wprowadzenie nie jest motywowane reprezentowaniem żadnego naturalnego przekształcenia liniowego, czy formy kwadratowej jest macierz incydencji w teorii grafówOczywiście z macierzą incydencji, tak jak z każdą macierzą, można stowarzyszyć przekształcenie liniowe przez nią reprezentowane. Przekształcenie to nie pełni jednak żadnej istotnej roli w teorii grafów..
Oprócz wymienionych powyżej dziedzin macierze są wykorzystywane także w teorii reprezentacji, kryptografii, czy elektronice – część z tych użyć omówiono w Zastosowaniach. Macierze bada się również niezależnie od jakichkolwiek zastosowań w ramach algebry liniowej i teorii macierzy.
Elementy z których złożona jest macierz nazywamy współczynnikami macierzy. Aby zdefiniować operacje na macierzach takie jak suma dwóch macierzy lub iloczyn dwóch macierzy należy założyć, że współczynniki rozważanych macierzy należą do pewnego pierścienia. Popularnym mocniejszym założeniem jest wymaganie, by współczynniki macierzy należały do pewnego ciała. Jeszcze mocniejszym założeniem (niewymagającym znajomości abstrakcyjnego pojęcia ciała) jest przyjęcie, że zbiór dozwolonych współczynników jest (w zależności od potrzeb): liczbami wymiernymi liczbami rzeczywistymi lub liczbami zespolonymi
W artykule zakłada się, że wszystkie macierze mają współczynniki z ustalonego ciała o ile nie zaznaczono inaczej.
Wprowadzenie i oznaczenia thumb|Kolumny macierzy thumb|Wiersze macierzy thumb|Główna przekątna macierzy Poziomy układ elementów znajdujących się w jednej linii nazywa się wierszem, a pionowy – kolumną macierzy. Dane wpisane w macierz nazywa się jej elementami, współczynnikami lub wyrazami; każdy element można jednoznacznie zidentyfikować, podając jego wskaźniki lub indeksy – zwykle w tej kolejności: numer wiersza i kolumny macierzy, w której stoi. Para złożona z liczby wierszy i kolumn nazywana jest typem macierzy – często liczby te oddziela się znakiem Wyrazy macierzy otacza się przeważnie nawiasami okrągłymiZa A. Cayley, A Memoir on the Theory of Matrices (1855), w formacie.pdf. lub kwadratowymi (w starszych pozycjach można znaleźć podwójne kreskiZa A. Cayley, Mémoire sur les Hyperdéterminants, „Crelle Journal” 30 (1846), w formacie.pdf, co dziś może być źródłem pomyłek, np. z wartością bezwzględną wyznacznika bądź normą macierzy; zob. Ujęcie algebraiczne i uogólnienia); stąd napisy
oznaczają te same macierze – w dalszej części artykułu stosowane będą nawiasy kwadratowe. W ten sposób powyższa macierz złożona jest z 4 wierszy i 3 kolumn, tzn. jest typu Liczba występuje w tej macierzy dwukrotnie: na przecięciu pierwszego wiersza i pierwszej kolumny oraz na przecięciu trzeciego wiersza i drugiej kolumny – innymi słowy element macierzy o wskaźnikach lub to Ostatnia (trzecia) kolumna składa się z elementów w tej właśnie kolejności.
Nie ma ogólnie przyjętej metody oznaczania macierzy, przy czym trendy podlegały zmianom w czasie. Sposób oznaczania typu nie jest ustalony – zwykle bywa zapisywany oddzielnie (jak w tym artykule). W artykule przyjęto konwencję stosowania tych samych liter alfabetu łacińskiego na oznaczenie macierzy i jej elementów – dużych (pogrubionych, prostych) do oznaczenia macierzy i małych (pochylonych), o ile są skalarami, ze wskaźnikami w indeksie dolnym (zwykle, choć spotyka się oznaczenia ze wskaźnikami w indeksie górnym albo po jednym w każdym z indeksów; wśród innych sposobów zapisu można wymienić również notację funkcyjną, zob. Definicja) na oznaczenie jej elementów. Tak więc elementy macierzy oznaczonej literą będą zapisywane symbolicznie jako gdzie jest wskaźnikiem elementu leżącego na przecięciu -tego wiersza i -tej kolumny, lub jeśli nie wprowadza to niejasności, lub po prostu – taki element (współczynnik, wyraz) nazywa ogólnym. Macierz złożoną z elementów oznacza się, otaczając wyraz ogólny nawiasami okrągłymi, lub (jak w tym artykule) kwadratowymi, W ten sposób macierz będzie oznaczana tzn.
Macierz o liczbie kolumn równej liczbie wierszy nazywa się kwadratową – wspomnianą wspólną liczbę kolumn i wierszy nazywa się wtedy stopniem tej macierzy; macierze niebędące kwadratowymi nazywa się dla wyróżnienia prostokątnymi. Jeśli macierz jest kwadratowa, to: ciąg elementów o równych wskaźnikach wiersza i kolumny począwszy od jeden do jej stopnia nazywa się główną przekątną (główną diagonalą lub często po prostu przekątną bądź diagonalą) macierzy kwadratowej; przekątne leżące nad lub pod główną przekątną nazywa się odpowiednio nadprzekątną lub podprzekątną macierzy; przekątną, której wiersz rośnie od pierwszego do ostatniego, a kolumna maleje od ostatniej do pierwszej nazywa czasem przeciwprzekątną lub antyprzekątną.
Pojęcia te uogólnia się niekiedy na dowolne macierze prostokątne.
Dla macierzy
stopnia jej główną przekątną jest ciąg elementów równych odpowiednio a antyprzekątną – ciąg złożony z elementów równych kolejno Jej nadprzekątną i podprzekątną tworzą odpowiednio pary elementów i równych kolejno oraz
Podmacierz danej macierzy to dowolny układ jej elementów powstały przez „skreślenie” pewnej liczby wierszy i kolumn sam tworzący macierz; w szczególności podmacierze (kwadratowe) zawierające kolejne wiersze i kolumny o tych samych wskaźnikach, poczynając od pierwszego, nazywa się podmacierzami głównymi; innymi słowy są to podmacierze kwadratowe zawierające pewną liczbę początkowych wyrazów głównej przekątnej. Macierz klatkowa to macierz, w której wprowadzono podział elementów na grupy kolejnych wierszy i kolumn – obrazowo czyni się to, prowadząc poziome i pionowe linie między wierszami i kolumnami macierzy, dzieląc ją na podmacierze nazywane klatkami. Podział ten umożliwia traktowanie macierzy klatkowej jako macierzy, której elementami są inne macierze (klatki); podobnie macierze klatkowe można zestawiać z „pasujących” macierzy.
Jeżeli dane są macierze: odpowiednio typów to można z nich zestawić macierz klatkową
Podstawowe działania
Macierze i uważa się za równe, jeśli mają ten sam typ i równe odpowiadające sobie elementy, tzn. dla każdej możliwej pary zachodzi
thumb|Schematyczne przedstawienie iloczynu macierzy oraz Sumę macierzy i definiuje się „po współczynnikach”, tzn. za pomocą wzoru dla wszystkich
Mnożenie przez skalar macierzy oraz liczby również definiuje się „po współczynnikach”, czyli dla dowolnych
Działanie mnożenia macierzy można określić na wiele sposobówNiegdyś do rozwiązywania układów równań liniowych stosowało się (wprowadzone przez polskiego astronoma Tadeusza Banachiewicza) tzw. krakowiany, czyli macierze z działaniem mnożenia podobnym do iloczynu Cauchy’ego, w którym dany element jest sumą iloczynów kolejnych elementów kolumn (a nie kolumny i wiersza) – w szczególności nie jest ono przemienne, ani łączne. Podejście to upraszcza jednak wiele wzorów, usprawnia obliczenia numeryczne przy obliczeniach ręcznych i z zastosowaniem komputerów z pamięcią sekwencyjną oraz ułatwia sprawdzanie obliczeń poprzez sumy kontrolne; zob. też mnożenie macierzy., najczęściej jednak „mnożenie macierzy” oznacza tzw. iloczyn Cauchy’ego macierzy (zob. przekształcenia liniowe): dla macierzy typu oraz typu dany jest on jako taka macierz typu oznaczana dla której dla dowolnych
Mnożenie to jest łączne, ale nie jest przemienne; ponadto jest ono obustronnie rozdzielne względem dodawania, a do tego zgodne z mnożeniem przez skalar.
Przestawienie bądź transpozycja danej macierzy tzn. zamiana jej kolumn i wierszy miejscami (z zachowaniem kolejności) pozwala na zwięzłe przedstawienie wielu jej własności; macierz transponowaną lub przestawioną względem macierzy definiuje się jako macierz dla wszystkich
przy czym oraz
Operacjami elementarnymi na macierzy nazywa się operacje: zamiany miejscami dwóch wierszy macierzy, pomnożenia jednego z wierszy przez liczbę różną od zera oraz dodania wiersza macierzy do innego jej wiersza. Macierz elementarna to macierz powstała z macierzy jednostkowej w wyniku jednej operacji elementarnej na jej wierszachMacierz elementarna jest macierzą przekształcenia liniowego, którym jest operacja elementarna, por. macierz przekształcenia liniowego.. Podobnie definiuje się operacje elementarne na kolumnach danej macierzy.
Macierze prostokątne Układy równań liniowych
Układ równań liniowych o zmiennych postaci
można zapisać w postaci równania macierzowego
dla danych macierzy nazywanej macierzą główną układu, oraz Macierz klatkową postaci nazywa się macierzą uzupełnioną lub rozszerzoną układu.
W celu uzyskania rozwiązania układy równań liniowych przekształca się za pomocą operacji elementarnych, które zachowują zbiór rozwiązań układu; odpowiadają im operacje elementarne na wierszach macierzy, których przykładanie można postrzegać jako mnożenie lewostronne macierzy uzupełnionych układu przez macierze elementarne (mnożenie prawostronne odpowiada operacjom elementarnym na kolumnach macierzy).
Przekształcenia liniowe
thumb|Wektory zapisane jako kolumny macierzy typu odpowiadają bokom równoległoboku o wspólnym wierzchołku w zerze otrzymanego z kwadratu jednostkowego. Każda macierz typu opisuje przekształcenie liniowe przestrzeni współrzędnych w odwzorowujące wektor w wektor Przekształceniu temu odpowiada mnożenie macierzy typu przez macierz typu o tych samych współczynnikach, co wektor dając w wyniku macierz typu o współczynnikach identycznych z tymi w wektorze Odwrotnie: każde przekształcenie liniowe zadaje macierz typu przy czym to -ta współrzędna wektora gdzie jest wektorem o współrzędnych równych zeru poza -tą współrzędną równą jedynce. Przekształcenie jest więc reprezentowane przez macierz zaś jest macierzą przekształcenia liniowego
W ten sposób układ równań liniowych można traktować jako problem opisu przekształcenia liniowego gdzie istnienie rozwiązań jest tożsame z istnieniem wektora spełniającego (czyli należeniem do obrazu ), jednoznaczność rozwiązań jest równoważna różnowartościowości przekształcenia (czyli trywialności jego jądra).