thumb|Animacja wyjaśnia własności korelacji rangowej. Na osiach odłożone są wartości porównywanych zmiennych. Punkty symbolizują obserwacje w próbie. Współczynnik korelacji rang Spearmana jest obliczany w dwóch etapach: najpierw wykonywane jest rangowanie, czyli zastąpienie każdej zaobserwowanej wartości przez jej numer w zbiorze posortowanym rosnąco. Rangowanie pokazane jest tu w formie animacji, aby umożliwić śledzenie losów każdej z obserwacji; naprawdę żadne stadia pośrednie nie występują. Następnie obliczany jest zwykły współczynnik korelacji liniowej PearsonaJest to procedura zgodna z definicjami , , , , . Estymatory , , sprowadzają się do niej przy braku powtarzających się wartości w każdej ze zmiennych. Dowód jest w monografii .. Jest on wprawdzie wrażliwy na obserwacje odstające, jednak rangowanie zbliża je do pozostałych, dzięki czemu niweluje się ich zakłócający wpływ na wynik. Dla pokazanych tu danych, przed rangowaniem współczynnik korelacji jest nieistotny statystycznie Ten sam współczynnik dla rang wykazuje już istotną zależność pomiędzy zmiennymi Monotoniczna nieliniowa zależność przekształca się przy rangowaniu w liniowąWyprowadzenie dla ścisłej zależności rosnącej: niech oznacza liczbę elementów w zbiorze stąd , w wyniku czego współczynnik korelacji liniowej Pearsona, zastosowany do rang, mierzy siłę zależności monotonicznej. Korelacja rang Spearmana (lub: korelacja rangowa Spearmana, rho Spearmana) – jedna z nieparametrycznych miar monotonicznej zależności statystycznej między zmiennymi losowymi.
Przyjmuje wartości od -1 do +1 włącznie. Skrajny wynik +1 oznacza, że wzrost jednej ze zmiennych zawsze pociąga za sobą wzrost drugiej, wynik -1 oznacza, że wzrost jednej ze zmiennych pociąga za sobą spadek drugiej, 0 to brak wykrytej zależności. W odróżnieniu od klasycznego współczynnika korelacji Pearsona, zależność ta nie musi być liniowa.
Pierwotny pomysł korelowania rang był już znany wcześniej i pochodził od Bineta i , jednak współczynnik ten został solidnie opisany i rozpropagowany dopiero w 1904 przez angielskiego psychologa Charlesa Spearmana. Zauważył on, że w wielu badaniach nie da się zastosować klasycznego współczynnika korelacji lub daje on fałszywie istotne wyniki ze względu na nadmiar obserwacji odstających.
Spearman zdefiniował swój współczynnik jako współczynnik korelacji Pearsona, liczony dla rang zmiennych (stąd nazwa współczynnik korelacji rang). Obecnie stosowanych jest kilka jego wersji, nieznacznie różniących się od siebie. Ich wartości są identyczne w przypadku, gdy obserwacje każdej zmiennej w próbie nie powtarzają się. Jeśli jednak nie jest to prawdą, to współczynnik korelacji dla rang opisuje jedynie wzór i jego odmiany. Mimo to często używany jest też prostszy wzór .
Zastosowanie i interpretacja Korelacja rangowa przyjmuje wartości z przedziału [-1,+1], ich interpretacja jest podobna do klasycznego współczynnika korelacji Pearsona, z zastrzeżeniem: w odróżnieniu od współczynnika Pearsona, który mierzy liniową zależność między zmiennymi, a wszelkie inne związki traktuje jako zaburzone zależności liniowej, korelacja rangowa pokazuje dowolną monotoniczną zależność (także nieliniową).
Model korelacji rangowej zawiera szerszą klasę zależności niż model klasycznego współczynnika korelacji, nie obejmuje jednak wszystkich możliwych zależności. Na przykład zależność okresowa, spotykana często w analizie szeregów czasowych, gdzie nosi nazwę sezonowości, nie jest wykrywana ani przez korelację Pearsona, ani Spearmana.
Jako metoda rangowa, rho Spearmana jest w niewielkim tylko stopniu wrażliwe na obserwacje odstająceOdsuwając dowolną obserwację coraz bardziej od średniej, zwiększa się nieograniczenie jej wpływ na współczynnik korelacji Pearsona, gdyż ma ona coraz większy udział w kowariancji w jego liczniku oraz odchyleniach standardowych w mianowniku. Wpływ obserwacji odstających na korelację rangową jest już jednak ograniczony, gdyż ranga tej obserwacji po osiągnięciu wartości 1 lub przestaje się zmieniać, a wraz z nią wynik., dzięki czemu szczególną użyteczność znajduje w analizie danych niskiej jakości.
Współczynnik korelacji Spearmana zależy wyłącznie od uporządkowania zaobserwowanych wartości. Może zatem być stosowany do dowolnych zmiennych, których wartości można uporządkować rosnąco. Klasyczny współczynnik korelacji nie ma sensownej interpretacji dla zmiennych na skali porządkowej, gdyż uzależniony jest od różnic między wartościami zmiennych, które dla cech porządkowych nie są określone.
Współczynnik korelacji Spearmana oraz testy jego istotności mogą być stosowane przy dowolnym rozkładzie porównywanych zmiennych.
Korelacja rang Spearmana może być też opisana jako nachylenie (współczynnik kierunkowy) prostej najlepiej dopasowanej (w sensie najmniejszych kwadratów) do zbioru par rang. Istnieją inne, bardziej egzotyczne interpretacje, nie mają jednak znaczenia praktycznegoNa przykład istnieje interpretacja geometryczna tego współczynnika jako euklidesowej odległości wierzchołków odpowiednio skonstruowanego n-1-wymiarowego wielościanu o wierzchołkach i równej długości krawędzi zanurzonego w przestrzeni -wymiarowej..
Zależność między zmiennymi losowymi (niezależnie od tego, jakim wskaźnikiem jest mierzona) nie musi oznaczać związku przyczynowo-skutkowegoWięcej na ten temat w artykule zależność zmiennych losowych..
Korelacja rang Spearmana zmiennych losowych Ta wersja ma znaczenie w statystyce teoretycznej. Wartości dowolnych miar statystycznych wyliczanych z próby wygodnie jest uważać za estymatory (przybliżenia) miar liczonych na podstawie rozkładu zmiennej losowej, z którego próba była losowana. W przypadku miar korelacji, dla zmiennych i będzie to dwuwymiarowy rozkład wektora
Korelacja rang Spearmana zmiennych losowych i wyrażona jest wzorem
gdzie: – współczynnik korelacji PearsonaWspółczynnik korelacji obliczany jest dla zmiennych losowych. Dystrybuanta nie jest zmienną losową, ale już złożenie zmienną losową jest, gdyż jest funkcją przyporządkowującą liczby rzeczywiste zdarzeniom losowym. Podobnie Użycie zamiast jest niezbędne, aby oddać sposób wyliczania rang wiązanych dla zmiennych dyskretnych. Zob. .,
– dystrybuanta zmiennej w punkcie – lewostronna granica w punkcie
Dla ciągłych zmiennych losowych zachodzi i wzór ten sprowadza się do
gdzie – dystrybuanty porównywanych zmiennych, – kowariancja.
Korelacja rang Spearmana z próby W praktyce współczynnik korelacji rang oblicza się dla próby statystycznej. Używane do tego wzory można uważać za estymatory (przybliżenia) korelacji rang danej wzorem lub korelacji rang istniejącej w populacji statystycznej. Przybliżenia nie są jednak tym samym, co wartość przybliżana. Ich wyniki będą zatem dla odróżnienia oznaczane przez podobnie jak w literaturze.
Współczynnik obliczany jest w następujący sposób: 1. Dla każdej porównywanej zmiennej dokonywane jest niezależnie rangowanie, czyli: 1a. Zaobserwowane wartości danej zmiennej porządkowane są rosnąco. 1b. Każdej wartości przypisywana jest ranga równa pozycji danej wartości w rosnącym porządku (najmniejsza uzyskuje rangę 1, kolejna 2 itd.). 1c. W przypadku gdy dana wartość występuje wielokrotnie, każde z wystąpień ma przypisaną tę samą rangę równą średniej arytmetycznej pozycji w rosnącym porządku (tzw. ranga wiązana lub powiązana, ang. tied rank). Tym samym mogą występować rangi ułamkowe, np. ranga 1,5. 2. Po powrocie do pierwotnego porządku wartości w zmiennych obliczana jest korelacja rangowa z jednego ze wzorów omówionych poniżej (, , , , , , , ). Istnieją różne wzory, gdyż poszczególne estymatory korelacji rang mają różne własności. Jeśli nie ma rang wiązanych, wszystkie one dają ten sam wynik. Jeśli występują rangi wiązane, to wzór i jego odmiany są zgodne z pierwotną koncepcją Spearmana. Pomimo to często używany jest wzór , jak twierdzi część autorów, nieprawidłowo.
Wzory uwzględniające rangi wiązane Oryginalna propozycja Spearmana W oryginalnym ujęciu Spearmana, jego korelacja rang jest współczynnikiem korelacji Pearsona liczonym dla rang zmiennych zamiast ich surowych wartości, co jest bezpośrednim przełożeniem wzoru na język rang.
gdzie: – klasyczny współczynnik korelacji, – rangi zmiennej w próbie, – rangi zmiennej w próbie.
Wzór ten można uważać za próbkowy odpowiednik wzoru . Rozpisanie wzoru na korelację Pearsona prowadzi do
Wersja oparta na różnicy rang Ten sam estymator można też zapisać w innej, równoważnej wersji jako:
gdzie:
jest liczbą obserwacji w próbie posiadających tę samą -tą wartość rangi zmiennej jest liczbą obserwacji w próbie posiadających tę samą -tą wartość rangi zmiennej sumowanie przebiega po wszystkich wartościach rang – wystarczy zsumować rangi wiązane, bo dla pozostałych (analogicznie ); gdy w danej zmiennej nie ma rang wiązanych, lub jest równe zeru.
Wersja dla tablicy dwudzielczej Rozkład porządkowych zmiennych losowych w próbie można przedstawić w formie tablicy dwudzielczej (tablicy kontyngencji), w której kolumny odpowiadają uszeregowanym wartościom jednej zmiennej (oznaczonej przez ), wiersze uszeregowanym wartościom drugiej zmiennej (oznaczonej przez ), a w komórkach tablicy znajdują się liczności
Wzór przyjmuje wtedy postać:
gdzie: – odpowiednio indeksy wierszy oraz kolumn, – odpowiednio liczba wierszy oraz kolumn,
– suma -tego wiersza, – suma -tej kolumny, – suma całej tabeli.
Dziś estymator jest standardowym wzorem używanym np. przez pakiety statystyczne SAS oraz SPSS, a także w uwzględniających rangi wiązane pracach naukowych z dziedziny statystyki. W podręcznikach statystyki oraz w pracach naukowych z innych dziedzin nadal jednak popularny jest podany dalej wzór , ze względu na stopień komplikacji wzorów lub , utrudniający ręczne obliczenia, mimo że w obliczeniach wykonywanych na komputerze wzór jest nawet prostszy w zastosowaniuNp. w pakiecie Microsoft Excel dostępna jest funkcja WSPÓŁCZYNNIK.KORELACJI obliczająca korelację Pearsona. Wystarczy zastosować ją do porangowanego zbioru zamiast implementować samodzielnie wzór ..
Niekiedy estymator /// nazywany jest „skorygowaną korelacją rangową”.
Poprawka do wzoru na w przypadku rang wiązanych wynikająca z zastosowania wzorów /// jest obszernie dyskutowana w monografii Kendalla. Lehmann wykazuje asymptotyczną zbieżność do rozkładu normalnego, w przypadku, gdy liczba rang wiązanych jest ograniczona.
Wzór dla rang wiązanych powstałych przez agregację Powtarzające się wartości zmiennych, a tym samym rangi wiązane, mogą powstawać na dwa sposoby w zależności od natury badanego zjawiska: jako odzwierciedlenie prawdziwych powtarzających się wartości w populacji – przykładem może być zastosowanie korelacji rangowej do obliczania zależności dwóch zmiennych na skali porządkowej, takich jak wykształcenie: dwie osoby mogą mieć to samo wykształcenie, powstanie wówczas ranga wiązana; jako efekt pogrupowania (agregacji) wartości zmiennych w kilka rozłącznych przedziałów, a następnie przypisania jednej wartości (centroid) do każdej z nich – taka sytuacja ma miejsce np. gdy opracowywane są wyniki ankiet, w których badanych poproszono o przedziałowe określenie jakiejś wielkości, takiej jak dochód. Rangi wiązane powstają wówczas w sposób sztuczny.
Podczas agregacji tracona jest informacja o zróżnicowaniu obserwacji wewnątrz każdego przedziału, co sprawia, że zmienne, które przed agregacją nie miały identycznych rang, po agregacji mogą już mieć taki sam porządek. Agregacja jest zwykle zabiegiem wymuszonym warunkami badania, którego wpływ na wyniki powinien być jak najmniejszy. Przydatny byłby więc estymator, szacujący korelację rangową zmiennych przed agregacją na podstawie danych po agregacji. Taki estymator osiągałby wartości tylko przy próbie bez rang wiązanych.