Prawdopodobieństwo – w znaczeniu potocznym szansa na wystąpienie jakiegoś zdarzenia, natomiast w matematycznej teorii prawdopodobieństwa rodzina miar służących do opisu częstości lub pewności tego zdarzenia.
W rozumieniu potocznym wyraz „prawdopodobieństwo” odnosi się do oczekiwania względem rezultatu zdarzenia, którego wynik nie jest znany (niezależnie od tego, czy jest ono w jakimś sensie zdeterminowane, miało miejsce w przeszłości, czy dopiero się wydarzy); w ogólności należy je rozumieć jako pewną miarę przewidywalności bądź pewności względem zjawiska (przy danej o nim wiedzy), co umożliwia ocenę potencjalnie związanego z nim ryzyka.
Prawdopodobieństwo w sensie matematycznym służy do modelowania doświadczeń losowych poprzez przypisanie poszczególnym zdarzeniom losowym liczb, zwykle z przedziału jednostkowego (często wyrażanych procentowo: od 0 do 100%), wskazujących szanse ich zajścia.
Istnieje wiele matematycznych interpretacji pojęcia prawdopodobieństwa, między innymi tzw. : obiektywne (częstościowe), jako obiektywną częstość zdarzenia w dużej liczbie prób losowych, subiektywne (bayesowskie, od nazwiska T. Bayesa), jako reprezentację subiektywnej pewności, uzyskanej na podstawie dotychczasowej wiedzy i zaobserwowanych danych.
Innym przykładem interpretacji jest prawdopodobieństwo skłonnościowe Karla Raimunda Poppera.
Teoria prawdopodobieństwa, nazywana również rachunkiem prawdopodobieństwa, jest ugruntowanym działem matematyki, który wyrósł z rozważań dotyczących gier losowych w XVII wieku i został sformalizowany oraz zaksjomatyzowany jako osobna dziedzina matematyki na początku XX wieku. Z punktu widzenia filozofii matematyki w swojej aksjomatycznej postaci twierdzenia matematyczne dotyczące teorii prawdopodobieństwa niosą ze sobą tę samą pewność epistemologiczną, co wszystkie inne twierdzenia matematyczne. Inną aksjomatyzację pojęcia prawdopodobieństwa w duchu bayesowskiego obiektywizmu podał Richard Threlkeld Cox, która przedstawiana jest często w postaci twierdzenia Coxa.
Rys historyczny mały|Christiaan Huygens pierwszy naukowo opisał prawdopodobieństwo Początków rachunku prawdopodobieństwa należy upatrywać w hazardzie: obserwacja różnego rodzaju gier losowych doprowadziła do sformułowania pierwszych stwierdzeń i wniosków natury formalnej dotyczących możliwości i szans zajścia zdarzeń. Pierwsze ścisłe uwagi dotyczące prawdopodobieństwa wymieniali ze sobą w swojej korespondencji (1654) Pierre de Fermat i Blaise Pascal, stymulowani przez pytania Kawalera de Méré. Z kolei Christiaan Huygens (1657) jako pierwszy opisał zagadnienie z naukowego punktu widzenia. Jakob Bernoulli w swoim dziele Ars Conjectandi (pośmiertnie, 1713) i Abraham de Moivre w Doctrine of Chances (1718) traktują przedmiot jako dział matematyki.
To podejście doprowadziło do sformułowania przez Pierre’a Simona de Laplace’a klasycznej definicji prawdopodobieństwa (1812). Mimo tego, iż tłumaczyła ona wiele interesujących wtedy zagorzałych graczy zjawisk, a ponadto dawała poprawne odpowiedzi, to zawiera ona zasadniczy błąd logiczny. Odwołuje się ona do możliwości wyodrębnienia tzw. zdarzeń elementarnych, które mają być „jednakowo możliwe”, czyli „jednakowo prawdopodobne” – definiens odwołuje się do definiendum, jest to więc przykład błędnego koła w definiowaniu.
Pewnym rozwiązaniem bolączek definicji klasycznej była przedstawiona przez Georges’a-Louisa Leclerca, hrabiego Buffon definicja geometryczna (1733), która umożliwiała badanie prawdopodobieństw zdarzeń nieskończonych poprzez przypisanie im miar podzbiorów w zbiorze miary jednostkowej, np. długości sum odcinków leżących w odcinku jednostkowym, czy pól powierzchni figur zawartych w kwadracie o jednostkowym polu (zob. igła Buffona). Przy badaniu tej definicji Joseph Louis François Bertrand zauważył paradoksalny problem opisywany dzisiaj jego nazwiskiem, tzw. paradoks Bertranda, który jest w istocie pytaniem o właściwy dobór metody określania prawdopodobieństwa – to właśnie tego rodzaju paradoksom miały zapobiegać interpretacje częstotliwościowa i subiektywistyczna.
Definicja Laplace’a nie może też być stosowana w przypadku (potencjalnie) nieskończenie długich ciągów zdarzeń. Z problemem tym próbowano sobie poradzić na kilka sposobów. Jednym z nich była tzw. definicja częstotliwościowa Richarda von Misesa (1931), który zaproponował zdefiniowanie prawdopodobieństwa jako granicę ciągu częstości serii zdarzeń, czyli niejako ekstrapolowanie uzyskiwanych rezultatów doświadczalnych na przypadek nieskończony. Definicja ta również jest uważana za błędną, gdyż nie mówi ona nic o warunkach istnienia wspomnianej granicy; formalizacją tej zgodnej z intuicją definicji są różnorodne wersje prawa wielkich liczb.
Definicja geometryczna okazała się niejako najlepszym z powyższych pomysłów, gdyż korzystając z nowo powstałej teorii miary i teorii całkowania opracowanej przez Henriego Léona Lebesgue’a uogólniających pojęcia długości, pola powierzchni i objętości, Andriej Nikołajewicz Kołmogorow (1933) podał pierwszą aksjomatyczną definicję prawdopodobieństwa, która została szeroko przyjęta jako właściwe określenie tego pojęcia. Z tego punktu widzenia paradoks Bertranda jest źle zaadresowanym pytaniem: definicja Kołmogorowa nie rozstrzyga, który z modeli jest lepszy, lecz umożliwia wyznaczenie prawdopodobieństwa zgodnie z wybranym; pewne rozwiązanie paradoksu przedstawił Edwin Thompson Jaynes.
Alternatywnym do wspomnianej wyżej aksjomatyzacji sposobem wprowadzania formalnej teorii prawdopodobieństwa może być algebraiczna aksjomatyzacja zwana algebrą zmiennych losowych opisana przez Melvina Dale’a Springera w 1977 roku, choć nie jest to jedyna możliwość.
Definicje Definicja Laplace’a Niech dany będzie skończony zbiór wszystkich możliwych zdarzeń elementarnych; dowolny podzbiór zbioru nazywa się wtedy zdarzeniemByć może lepsze są nazwy, w których brak wyrazu „zdarzenie”, np. „możliwość”, „przypadek”, czy „wynik”, gdyż nie prowadzą one do błędnego przeświadczenia, iż zdarzenia elementarne są zdarzeniami (zdarzenia elementarne, jako elementy, składają się na zdarzenia, które są zbiorami; zob. zbiór i podzbiór). Chcąc uzyskać zdarzenie, które zawierałoby wyłącznie wybrane zdarzenie elementarne należy wziąć zbiór jednoelementowy .
Prawdopodobieństwem zajścia zdarzenia nazywa się stosunek liczby zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu do liczby wszystkich możliwych zdarzeń elementarnych należących do zbioru Definicja ta zakłada więc nie wprost, iż wszystkie zdarzenia elementarne wzajemnie się wykluczają, a ich wystąpienia równie możliwe. Innymi słowy prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia to liczba
gdzie oznacza liczbę wszystkich elementów danego zbioru.
Definicja Buffona Niżej przedstawiona definicja w przypadku jednowymiarowym (dla podzbiorów na prostej), jednak uogólnia się ona wprost na przypadek dwu- oraz trójwymiarowy (płaszczyzna i pole powierzchni). Nomenklatura nie odbiega od przyjętej wyżej w definicji klasycznej i częstotliwościowej.
Niech oznacza podzbiór prostej, przy czym
może być to zbiór nieskończony (tzn. może posiadać nieskończenie wiele elementów, np. odcinek na prostej), musi być ograniczony, tzn. musi mieć skończoną długość
W ten sposób zdarzenia będą mieć skończoną miaręW istocie wymaga się tu bardziej możliwości określenia długości, która ma być skończona. W domyśle przyjmuje się, że jest ona określana za pomocą tzw. miary Jordana, o ile nie zostanie zaznaczone wyraźnie inaczej; zob. kolejną sekcję..
Jeżeli przyjąć, że oznacza sumę długości wszystkich rozłącznych odcinków składających się na dany zbiór, to prawdopodobieństwo można określić, zupełnie jak w definicji klasycznej, wzorem
Definicja von Misesa Definicja częstościowa (in. częstotliwościowa), sformułowana przez Richarda von Misesa, oparta jest na definicji Laplace’a, z tym iż może być dowolnym (niekoniecznie skończonym) zbiorem. Liczbę zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu w doświadczeniach (próbach) oznacza się iloraz nazywa się częstością zdarzenia
Prawdopodobieństwem zdarzenia nazywa się wtedy liczbę będącą granicą ciągu częstości przy liczbie prób rosnącej do nieskończoności, tzn.
Definicja ta stanowi podstawę wnioskowania częstościowego w statystyce, rozwijanego m.in. przez Ronalda Fishera.
Definicja Kołmogorowa
Jedynym niedostatkiem definicji Buffona było nieprecyzyjne określenie zdarzeń, którym można przypisać prawdopodobieństwo: nie było jasne, jaką postać mogą przyjmować zbiory odpowiadające zdarzeniom, a przez to, czy możliwe jest wskazanie ich długościPrzykładowo problematyczny jest zbiór liczb wymiernych należących do odcinka jednostkowego. Zgodnie z definicją miary Jordana na prostej mierzenie tego zbioru odbywa się poprzez wypełnienie go „od dołu” i pokrycie „od góry” skończoną liczbą odcinków o ustalonej długości. Z jednej strony „pokrycie od góry” tego nieskończonego zbioru zawsze prowadzi do pokrycia nimi całego odcinka jednostkowego, gdyż punkty wymierne są na nim gęsto rozmieszczone, a więc zbiór ten ma jednostkową miarę zewnętrzną; z drugiej strony punkty niewymierne również są na nim gęsto rozmieszczone, co oznacza, że dopełnienie mierzonego zbioru również pokrywa w całości odcinek jednostkowy – „wypełnienie od dołu” będące różnicą miary całego odcinka i miary dopełnienia ma więc miarę zerową. Miara zbioru liczb wymiernych na odcinku jednostkowy w sensie Jordana jest więc nieokreślona, choć intuicyjnie zbiór ten powinien mieć miarę zerową, gdyż jest tylko przeliczalny w przeciwieństwie do jego dopełnienia.. Kluczem było wyraźne podanie założeń:
zdarzenia elementarne muszą być elementami tzw. sigma-ciała, utworzonego na danym zbiorze zdarzeń potrzeba określić miarę na zbiorach sigma-ciała – np. w postaci miary Lebesgue’a i całki Lebesgue’aPodana niżej definicja przenosi się niemal bez zmian na algebry Boole’a..
Niech dany będzie pewien zbiór zdarzeń elementarnych. Prawdopodobieństwem nazywa się dowolną funkcję przypisującą zdarzeniom wartości z przedziału jednostkowego, dla której oraz dla dowolnego przeliczalnego ciągu zdarzeń parami wykluczających sięZob. ciąg zbiorów.. Zdarzenia nie są dowolnymi podzbiorami zbioru czyli elementami rodziny wszystkich podzbiorów zbioru lecz elementami rodziny która tworzy (w domyśle: jak największą) niepustą rodzinę zdarzeń w która jest zamknięta na branie zdarzeń przeciwnych i przeliczalnych alternatyw zdarzeń (intuicyjnie: dla każdego zdarzenia istnieje zdarzenie będące jego negacją, a dla dowolnej, co najwyżej przeliczalnej, liczby zdarzeń istnieje zdarzenie będące ich alternatywą)W szczególności rodzina może pokrywać się z co ma np. miejsce w przypadku przeliczalnym i skończonym; uogólnia ona więc wszystkie poprzednie definicje.Rodzinę o podanych własnościach nazywa się σ-ciałem podzbiorów zbioru . Zrezygnowanie z możliwości określenia prawdopodobieństwa dla wszystkich zdarzeń wynika z problemów formalnych pojawiających się podczas rozpatrywania dość „patologicznych” ich przypadkówW przestrzeni euklidesowej istnieją zbiory, np. zbiór Vitalego, dla których określenie ich miary Lebesgue’a jest niemożliwe; rozpatrywanie σ-ciała wyklucza tego rodzaju zbiory z dyskursu, dając przy tym wystarczająco bogaty zestaw zbiorów mierzalnych użyteczny do wszelkich zastosowań; ponieważ konstrukcja zbiorów niemierzalnych wymaga użycia szczególnych środków (aksjomat wyboru), bywa, iż w popularnym ujęciu pomija się te dywagacje, de facto rozmywając precyzję definicji Kołmogorowa do nieformalnej definicji Buffona..
Definicja Springera