Twierdzenie Landaua – klasyczne twierdzenie analizy matematycznej charakteryzujące ciągi należące do przestrzeni ℓp dla p > 1. Nazwa twierdzenia pochodzi o nazwiska matematyka Edmunda Landaua, który opublikował je w roku 1907E. Landau, Über einen Konvergenzsatz, „Nachr. Königl. Ges. Wiss. Göttingen” 8 (1907), s. 25–27..
Twierdzenie Niech oraz niech będzie takim ciągiem liczbowym, że
dla każdego ciągu gdzie
Wówczas tj. .
W przypadku, gdy na to by wystarcza, by
dla każdego ciągu zbieżnego do 0.
Dowód Niech Dla każdej liczby naturalnej wzór
definiuje ciągły funkcjonał liniowy na przestrzeni o normie .
Z twierdzenia Banacha-Steinhausa wynika, że
To kończy dowód, gdyż .
Uwagi o dowodzie Powyższy dowód oparty jest na twierdzeniu Banacha-Steinhausa, które wymaga w dowodzie użycia pewnej formy aksjomatu wyboruAdrian F.D. Fellhauer, On the relation of three theorems in analysis and the axiom of choice, „Journal of Logic & Analysis” 9:1 (2017), s. 1–23.. Josef Berger i Douglas Bridges wykazaliJ. Berger, D. Bridges. Constructive Study of Landau’s Summability Theorem, 6th Int’l Conf. on Computability and Complexity in Analysis (2009) Schloss Dagstuhl – Leibniz-Zentrum für Informatik, 61–70., że istnieje całkowicie konstruktywny dowód twierdzenia Landaua.
Rozszerzenie twierdzenia na funkcje całkowalne
Istnieje analogiczna wersja twierdzenia Landaua dla funkcji całkowalnych w sensie Lebesgue’a. Twierdzenie to mówi, że jeżeli funkcja jest mierzalna w sensie Lebesgue’a na przedziale oraz iloczyn jest całkowalny na dla każdej funkcji to gdzie oraz bądź oraz .
Przypisy
Bibliografia
Kategoria:Twierdzenia o szeregach Landaua