mały|Diagram Venna: jest dopełnieniem względem
Dopełnienie zbioru, uzupełnienie zbioru – zbiór wszystkich elementów (pewnego ustalonego nadzbioru), które do danego zbioru nie należą.
Definicja formalna Niech dany będzie zbiór zwany dalej przestrzenią, zbiorem uniwersalnym lub uniwersum, oraz jego podzbiór Dopełnieniem zbioru nazywa się różnicę
oznaczaną zwykle symbolem lub , a w starszych pozycjach także lub, jeśli jest znane, krótko (litera „c” w niektórych oznaczeniach pochodzi od ang. complement, dopełniać).
Niekiedy spotyka się również oznaczenie , jednak jeżeli jest zbiorem, na którym określono pewną (addytywną) strukturę algebraiczną, to może oznaczać wtedy
Z definicji wynika, że dopełnienie zbioru zależy od wyboru przestrzeni. Korzystając z pojęcia dopełnienia zbiorów, różnicę zbiorów można zapisać w postaci:
Własności Dla dowolnego uniwersum prawdziwe są równości
Dla ustalonego i dowolnego zachodzi
co oznacza, że operacja dopełnienia jest inwolucją.
Prawdą jest też, iż zbiór i jego dopełnienie są rozłączne,
a ich suma daje całe uniwersum,
co oznacza, że jest rozbiciem zbioru
Dla danych zachodzą prawa de Morgana:
Dodatkowo pociąga
Przykłady Dopełnieniem zbioru w zbiorze jest zbiór Dopełnieniem zbioru liczb wymiernych w zbiorze liczb rzeczywistych jest zbiór liczb niewymiernych. Dopełnieniem prostej na płaszczyźnie euklidesowej jest suma dwóch rozłącznych otwartych półpłaszczyzn. Dopełnieniem zbioru w przestrzeni liczb naturalnych jest zbiór liczb naturalnych większych od natomiast w przestrzeni jest to zbiór
Przypisy
Angielski logik Augustus De Morgan odkrył przedstawione prawa rachunku zbiorów. Analogiczne prawa rachunku zdań sformułowano później, ale zwykło się je nazywać również nazwiskiem de Morgana
Kategoria:Działania na zbiorach Kategoria:Przykłady funkcji matematycznych