Ciąg ułamków Fareya rzędu – rosnący ciąg wszystkich nieskracalnych ułamków takich, że Wacław Marzantowicz, Piotr Zarzycki, Elementarna teoria liczb, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2012, , s. 58, Definicja 12.2..
Przykład Wacław Marzantowicz, Piotr Zarzycki, Elementarna teoria liczb, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2012, , s. 58, Przykład 12.3..
Własności Twierdzenie Cauchy’ego-FareyaWacław Marzantowicz, Piotr Zarzycki, Elementarna teoria liczb, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2012, , s. 58, Twierdzenie 12.4.. Dla nie ma dwóch kolejnych ułamków o tym samym mianownikuWacław Marzantowicz, Piotr Zarzycki, Elementarna teoria liczb, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2012, , s. 59, Twierdzenie 12.6.. Jeśli są kolejnymi ułamkami ciągu ułamków Fareya to Wacław Marzantowicz, Piotr Zarzycki, Elementarna teoria liczb, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2012, , s. 59, Twierdzenie 12.7.. Jeśli są kolejnymi ułamkami ciągu ułamków Fareya to Wacław Marzantowicz, Piotr Zarzycki, Elementarna teoria liczb, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2012, , s. 59, Twierdzenie 12.8..
Przykład zastosowania
Znaleźć liczby najbliższe których mianowniki są mniejsze od 50.
Mamy:
czyli
zachodzi nierówność:
więc:
Zauważamy, że skrajne wartości są najlepszymi oszacowaniami spośród liczb o mianowniku nie większym niż 2.
Stwierdzamy, że
czyli:
a zatem:
W kolejnych krokach dostajemy:
Liczby oraz są kolejnymi liczbami w pięćdziesiątym ciągu Fareya, więc nie ma pomiędzy nimi liczby o mianowniku mniejszym niż 58, czyli są to poszukiwane liczby.
Zobacz też drzewo Sterna-Brocota
Przypisy
Linki zewnętrzne Ułamki Fareya, Wydział Matematyki i Nauk Informacyjnych Politechniki Warszawskiej (MiNI PW), kanał „Archipelag Matematyki” na YouTube, 27 lipca 2017 [dostęp 2024-09-04].
F Kategoria:Teoria liczb