thumb|250px|Niech będzie obszarem normalnym, takim że oraz wtedy brzeg możemy podzielić na krzywe gładkie co dość dobrze obrazuje twierdzenie.

Twierdzenie Greena – twierdzenie analizy matematycznej wiążące pewne całki krzywoliniowe – konkretniej całki okrężne na płaszczyźnie – z całkami podwójnymi. Jest to szczególny przypadek twierdzenia Stokesa, które już nie zawiera warunku płaskości krzywej. Zostało sformułowane przez angielskiego matematyka i fizyka George’a Greena.

Treść twierdzenia Jeżeli funkcje i są klasy wewnątrz obszaru regularnego krzywa regularna jest brzegiem obszaru i jest zorientowana dodatnio, to:

Powyższy wzór jest nazywany wzorem Greena.

Aby zaznaczyć, że całka krzywoliniowa jest okrężna (krzywa jest zamknięta), używa się także symbolu całki z okręgiem:

Dowód Niech będzie obszarem ukazanym na rysunku obok. Tak więc

Wprowadźmy następujące parametryzacje krzywych

Wówczas dla dla oraz dla

Tak więc dla składowej pola wektorowego otrzymujemy:

zaś w całce podwójnej z prawej strony równości w tezie bierzemy składnik

Stosując twierdzenie Newtona-Leibniza, otrzymujemy:

Analogiczne rozumowanie można przeprowadzić dla składowej

Tak więc lewa i prawa strona równania z tezy są równe.

Przypisy

Linki zewnętrzne Green formulas , Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-04-05].

G