Miara spektralna – przeliczalnie addytywna miara wektorowa, określona na σ-ciele podzbiorów pewnej przestrzeni topologicznej o wartościach w zbiorze operatorów rzutowych pewnej ośrodkowej przestrzeni Hilberta, przyporządkowująca całej przestrzeni operator jednostkowy. John von Neumann zbudował współczesną mechanikę kwantową na teorii miar spektralnych.
Definicja Niech będzie przestrzenią topologiczną, σ-ciałem podzbiorów tej przestrzeni. Dalej, niech będzie ośrodkową przestrzenią Hilberta i niech oznacza przestrzeń operatorów liniowych i ciągłych przestrzeni
Funkcję nazywamy miarą spektralną w przestrzeni wtedy i tylko wtedy, gdy: jest operatorem rzutowym dla
Funkcja jest przeliczalnie addytywną miarą wektorową.
Własności Gdy oraz to w sensie Ponieważ więc z powyższego wynika, że – operator rzutuje na podprzestrzeń zawartą w podprzestrzeni Jeżeli oraz to równość określa przeliczalnie addytywną miarę wektorową o wahaniu ograniczonym przez
Przykład Niech będzie przestrzenią zwartą oraz – σ-ciałem zbiorów borelowskich tej przestrzeni. Jeśli jest miarą oraz oznacza przestrzeń funkcji przestrzeni całkowalnych z kwadratem w sensie to funkcja dana wzorem jest miarą spektralną, gdzie oznacza funkcję charakterystyczną.
Zobacz też hermitowska miara spektralna twierdzenie Gelfanda-Najmarka twierdzenie spektralne
Bibliografia
Kategoria:Miary wektorowe Kategoria:Analiza spektralna