Przestrzeń Aleksandrowa – przestrzeń topologiczna, dla której część wspólna dowolnej rodziny jej podzbiorów otwartych jest zbiorem otwartym. Przestrzenie Aleksandrowa zostały zdefiniowane przez Pawła Aleksandrowa w roku 1937 pod nazwą „przestrzenie dyskretne”Pawieł Aleksandrow, Diskrete Räume, Mat. Sb. (N.S.) 2 (1937), s. 501–518..
Charakteryzacja Jeżeli jest przestrzenią topologiczną, to następujące warunki są równoważne: jest przestrzenią Aleksandrowa, Suma dowolnej rodziny zbiorów domkniętych w jest zbiorem domkniętym, Dla każdego punktu istnieje najmniejsze (w sensie inkluzji) jego otoczenie otwarte, Filtr otoczeń otwartych dowolnego punktu jest domknięty na dowolne przekroje, Operacja wnętrza na jest rozdzielna względem dowolnych przekrojów, Operacja domknięcia na jest rozdzielna względem dowolnych sum mnogościowych, Istnieje taki praporządek na że zbiór jest otwarty wtedy i tylko wtedy, gdy implikuje dla każdych Istnieje taki praporządek na że zbiór jest otwarty wtedy i tylko wtedy, gdy implikuje dla każdych Istnieje taki praporządek na że zbiór jest domknięty wtedy i tylko wtedy, gdy implikuje dla każdych
Przykłady Każda skończona przestrzeń topologiczna jest przestrzenią Aleksandrowa. Przestrzeń dyskretna jest przestrzenią Aleksandrowa. Zbiór liczb rzeczywistych jest przestrzenią Aleksandrowa z topologią wprowadzoną przez bazę
Własności Przestrzeń T1 jest przestrzenią Aleksandrowa wtedy i tylko wtedy, gdy jest dyskretna. W szczególności jedynymi przestrzeniami metryzowalnymi Aleksandrowa są przestrzenie dyskretne. Podprzestrzeń, przestrzeń ilorazowa i skończony produkt przestrzeni Aleksandrowa są przestrzeniami Aleksandrowa. Obraz przestrzeni Aleksandrowa poprzez przekształcenie ciągłe jest przestrzenią Aleksandrowa.
Przypisy
Bibliografia Peter T. Johnstone, Stone spaces, Cambridge University Press (1982)
Kategoria:Własności przestrzeni topologicznych