Do wielu zastosowań (zarówno numerycznych, jak i teoretycznych) warto przedstawić daną macierz w postaci iloczynu kilku macierzy o określonych własnościach. Niektóre z poniższych rozkładów uogólniają się na operatory liniowe.

Diagonalizacja

Diagonalizacja to przedstawienie macierzy w postaci diagonalnej, czyli

gdzie: – macierz diagonalna składająca się z wartości własnych, – macierz odwracalna składająca się z wektorów własnych odpowiadających kolejnym wartościom własnym.

Diagonalizacja działa tylko dla niektórych macierzy kwadratowych (np. symetrycznych i hermitowskich).

Macierz, którą można zdiagonalizować nazywamy macierzą diagonalizowalną.

Rozkład Jordana

Rozkład Jordana to przedstawienie macierzy w postaci Jordana, czyli

gdzie: – macierz składająca się z klatek Jordana odpowiadającym kolejnym wartościom własnym, – macierz odwracalna; zawiera jeden wektor własny dla każdej klatki Jordana.

Jeśli macierz jest diagonalizowalna, to jej postać Jordana jest równa postaci diagonalnej.

Rozkład wartości osobliwych

Rozkład wartości osobliwych (nad ) to przedstawienie macierzy w postaci

gdzie: – macierz diagonalna zawierająca kolejne wartości osobliwe, i – macierze ortogonalne.

Rozkład wartości osobliwych macierzy symetrycznej pokrywa się z rozkładem diagonalnym.

Jeśli mamy do czynienia z macierzą nad ciałem liczb zespolonych to

gdzie: – macierz diagonalna zawierająca kolejne wartości osobliwe, i – macierze unitarne.

Zaś rozkład wartości osobliwych macierzy hermitowskiej pokrywa się z rozkładem diagonalnym.

Rozkład LU

Rozkład LU to przedstawienie macierzy w postaci

gdzie: – dolna macierz trójkątna, – górna macierz trójkątna.

Rozkład Choleskiego

Rozkład Choleskiego (nad ) to przedstawienie dodatniej macierzy symetrycznej w postaci

gdzie: – dolna macierz trójkątna.

Rozkład Choleskiego (nad ) to przedstawienie dodatniej macierzy hermitowskiej w postaci

gdzie: – dolna macierz trójkątna.

Rozkład biegunowy

Rozkład biegunowy to przedstawienie macierzy w postaci

gdzie: – częściowa izometria, – macierz dodatnio określona.

Zobacz też macierz transponowana sprzężenie hermitowskie