mały|Rozkład normalny nazywany też rozkładem Gaussa Funkcja gęstości prawdopodobieństwa (gęstość zmiennej losowej) – nieujemna funkcja rzeczywista, określona dla rozkładu prawdopodobieństwa, taka że całka z tej funkcji, obliczona w odpowiednich granicach, jest równa prawdopodobieństwu wystąpienia danego zdarzenia losowego. Funkcję gęstości definiuje się dla rozkładów prawdopodobieństwa jednowymiarowych i wielowymiarowych. Rozkłady mające gęstość nazywane są rozkładami ciągłymi.
Definicja formalna Niech będzie rozkładem prawdopodobieństwa w przestrzeni (w szczególności na prostej rzeczywistej ).
Gęstością rozkładu prawdopodobieństwa nazywa się nieujemną funkcję borelowską taką, że dla każdego zbioru borelowskiego zachodzi równość:
tzn. całka z funkcji obliczona na zbiorze jest równa prawdopodobieństwu przypisanemu zbiorowi
W szczególnych przypadkach konieczne jest użycie całki Lebesgue’a.
Unormowanie gęstości Tw. 1 (o unormowaniu gęstości) Jeśli jest gęstością rozkładu to w szczególności, na mocy powyższej definicji:
tzn. całka z funkcji gęstości, obliczona na całej przestrzeni jest równa 1.
Tw. 2 (o istnieniu rozkładu dla danej gęstości)
Każda nieujemna funkcja borelowska spełniająca powyższy warunek, jest gęstością jakiegoś rozkładu prawdopodobieństwa
Gęstość a dystrybuanta – przypadek 1-wymiarowy Tw. 3 (o obliczaniu dystrybuanty)
Załóżmy, że jest gęstością rozkładu Wówczas dystrybuantę rozkładu można wyznaczyć z gęstości
Jeśli więc istnieje gęstość, to za jej pomocą można w prosty sposób wyrazić dystrybuantę rozkładu. Jest to przydatne, gdy dystrybuanty nie daje się wyrazić za pomocą funkcji elementarnych (np. dla rozkładu normalnego).
Tw. 4. Warunkiem koniecznym i wystarczającym na istnienie gęstości dla danego rozkładu jest bezwzględna ciągłość jego dystrybuanty.
Sama ciągłość nie jest warunkiem wystarczającym – istnieją dystrybuanty ciągłe, które nie mają gęstości (np. dystrybuanta Cantora).
Tw. 5. Jeśli jest dystrybuantą, to jest ona prawie wszędzie różniczkowalna oraz jeśli (określona prawie wszędzie) jest prawie wszędzie różna od zera, to jest ona gęstością.
Gęstość a wartość oczekiwana – przypadek 1-wymiarowy Tw. 6. Jeżeli jest jednowymiarową zmienną losową o rozkładzie ciągłym z gęstością to jej wartość oczekiwana wyraża się wzorem:
Gęstość sumy zmiennych losowych Tw. 7
a) Jeżeli i są niezależnymi zmiennymi losowymi oraz przynajmniej jedna ma rozkład ciągły, to ich suma ma rozkład ciągły.
b) Jeśli ponadto obydwie zmienne losowe mają rozkłady ciągłe, to gęstość ich sumy jest splotem ich gęstości.
Własności gęstości – przypadek 2-wymiarowy Objętość bryły ograniczonej funkcją gęstości Tw. 8. Objętość bryły ograniczonej od góry funkcją gęstości dwóch zmiennych, a od dołu płaszczyzną jest zawsze równe tzn.
Wkład do całki z wartości funkcji równych wynosi dlatego można zawęzić powyższe całkowanie do niezerowych obszarów funkcji gęstości. Np. jeśli obszar ten ma postać prostokąta to
Prawdopodobieństwo wystąpienia wartości z pewnego obszaru płaszczyzny Aby obliczyć prawdopodobieństwo otrzymania wyniku z pewnego obszaru płaszczyzny, to trzeba dokonać całkowania z funkcji gęstości po tym obszarze, tj.
Jeżeli np. liczymy sumaryczne prawdopodobieństwo otrzymania wartości należącej do prostokąta to jest równa wartości całki z funkcji gęstości oznaczonej granicami przedziałów:
Twierdzenie o niezależności zmiennych losowych Zmienne losowe posiadające swoje funkcje gęstości
są niezależne, jeżeli funkcja jest gęstością wektora losowego czyli prawdziwe jest równanie:
Gęstość warunkowa
Gęstość warunkowa względem zdarzenia Gęstość warunkowa zmiennej losowej względem zdarzenia (takiego, że ) jest funkcją opisującą rozkład zmiennej przy założeniu, że zaszło zdarzenie .
Jeżeli zmienna ma gęstość , to gęstość warunkowa dana zdarzeniem jest określona wzorem
gdzie jest funkcją wskaźnikową zbioru .
Gęstość warunkowa względem zmiennej losowej Bardziej ogólnie, dla dwóch ciągłych zmiennych losowych i , mających wspólną gęstość , gęstość warunkowa zmiennej pod warunkiem jest określona wzorem
o ile
Funkcja spełnia warunek normalizacji
Warunkowa wartość oczekiwana a gęstość warunkowa Jeżeli istnieje gęstość warunkowa , to warunkową wartość oczekiwaną można obliczyć ze wzoru
W ten sposób gęstość warunkowa odgrywa dla warunkowej wartości oczekiwanej tę samą rolę, jak zwykła gęstość prawdopodobieństwa dla zwykłej wartości oczekiwanej. Przykład gęstości warunkowej
Niech zmienne losowe i mają wspólną gęstość
dla poza tym obszarem. Krok 1. Wyznaczenie gęstości brzegowej zmiennej
Dla ustalonego zmienna przyjmuje wartości z przedziału , zatem
Krok 2. Wyznaczenie gęstości warunkowej
Z definicji
Po podstawieniu otrzymujemy
dla
Poza tym przedziałem
Krok 3. Interpretacja
Oznacza to, że pod warunkiem zmienna ma rozkład jednostajny na przedziale .
Rzeczywiście,
Krok 4. Warunkowa wartość oczekiwana
Możemy teraz obliczyć
Tak więc
Wnioski: Przykład ten pokazuje typową procedurę obliczania warunkowej wartości oczekiwanej: wyznaczyć gęstość brzegową, podzielić gęstość wspólną przez gęstość brzegową, sprawdzić normalizację, obliczyć interesujące charakterystyki, np. warunkową wartość oczekiwaną.
Mechanika kwantowa W mechanice klasycznej stan układu fizycznego opisuje się np. przez podanie wzajemnych położeń i pędów poszczególnych części układu. Układy fizyczne uznaje się za identyczne, gdy złożone są z takich samych cząstek, mających odpowiednio takie same wzajemne położenia i pędy. Mechanika klasyczna opiera się tu na założeniu, że położenia i pędy można w zasadzie dowolnie dokładnie zmierzyć. Jednak nie jest to prawdą w przypadku, gdy mamy do czynienia z cząstkami o małych masach. W tym wypadku dokładniejszy opis rzeczywistego zachowania się układów fizycznych daje mechanika kwantowa.
W mechanice kwantowej z konieczności rezygnuje się z jednoczesnego przypisywania cząstkom położeń i pędów. W zamian za to stan układu fizycznego opisywany jest za pomocą funkcji falowej. Układy fizyczne są uznawane za identyczne, jeśli przypisuje się im identyczne funkcje falowe. Jednak pomiar wielkości mierzalnej (tzw. obserwabli) przeprowadzany na identycznych układach może prowadzić do różnych wyników. Np. mierząc położenia, pędy, energie cząstek opisywanych taką samą funkcją falową otrzymamy wyniki o pewnym rozkładzie losowym, przy tym np. gęstość prawdopodobieństwa znalezienia cząstki w punkcie jest równa kwadratowi modułu funkcji falowej:
gdzie oznacza sprzężenie zespolone.
W ogólności wyniki każdego pomiaru dokonywanego na identycznych układach są wielowymiarową zmienną losową o określonym rozkładzie prawdopodobieństwa.
Kategoria:Rachunek prawdopodobieństwa Kategoria:Statystyka Kategoria:Mechanika kwantowa