Rozkład dwumianowy (rozkład binomialny) – dyskretny rozkład prawdopodobieństwa opisujący prawdopodobieństwo uzyskania sukcesów oraz porażek w trakcie niezależnych eksperymentów losowych (nazywanych próbami Bernoulliego), przy czym w każdej pojedynczej próbie prawdopodobieństwo sukcesu równe jest , a prawdopodobieństwo porażki .
Rozkład dwumianowy nazywany jest w Polsce także rozkładem Bernoulliego, chociaż w krajach anglojęzycznych termin Bernoulli distribution odnosi się do rozkładu zero-jedynkowego.
Przykładem serii prób Bernoulliego, która ma rozkład dwumianowy, jest -krotny rzut monetą, przy czym zadajemy pytanie o prawdopodobieństwo uzyskania sukcesów. Sukcesem jest np. uzyskanie reszki, a porażką uzyskanie orła w pojedynczym rzucie. Każdy rzut monetą jest zaś niezależnym eksperymentem losowym.
Doświadczenia z losowaniem a rozkład dwumianowy Rozkład dwumianowy może służyć do opisu liczby sukcesów w próbie o liczebności , losowanej z populacji o liczebności , której elementom można przypisać jakąś wyróżniona cechę lub jej brak (np. czarne kule i innego koloru w urnie). Wylosowanie elementu mającego wyróżnioną cechę nazywa się sukcesem, w przeciwnym przypadku mówi się o porażce. Jeżeli losowanie odbywa się ze zwracaniem, to prawdopodobieństwa uzyskania sukcesu (np. wylosowania czarnej kuli z urny) w kolejnych losowaniach są jednakowe; losowania takie nazywa się niezależnymi.
Jeżeli losowania przeprowadzane są bez zwracania, to prawdopodobieństwo uzyskania sukcesu w kolejnej próbie zależy od wyników losowań w próbach wcześniejszych – losowania takie nazywa się zależnymi. Liczba sukcesów w próbie pobranej bez zwracania ma rozkład hipergeometryczny, a nie dwumianowy. Jeżeli np. czarnych kul w urnie jest bardzo niewiele (np. tylko dwie), to wylosowanie jednej z nich powoduje wyraźny spadek prawdopodobieństwa sukcesu w kolejnym losowaniu – w takim przypadku zależność między losowaniami nie jest pomijalna, nawet w bardzo dużej liczebności populacji.
Jedynie gdy liczebność populacji oraz liczebność osobników o badanej cesze jest dużo większa od liczebności próby , to zależności między kolejnymi losowaniami stają się pomijalne i rozkład dwumianowy stanowi bardzo dobre przybliżenie rozkładu hipergeometrycznego. Np. wylosowanie czarnej kuli z urny zawierającej milion kul, w tym kilka tysięcy kul czarnych, praktycznie nie zmienia prawdopodobieństwa wylosowania czarnej kuli nawet w kolejnych kilkudziesięciu losowaniach.
Funkcja masy prawdopodobieństwa Prawdopodobieństwo otrzymania sukcesów w niezależnych próbach Bernoulliego, gdy prawdopodobieństwo wystąpienia sukcesu w pojedynczej próbie wynosi , dane jest przez funkcję masy prawdopodobieństwa za pomocą wzoru:
dla ,
gdzie:
– symbol Newtona (współczynnik dwumianowy)
Uzasadnienie wzoru mały|287x287px|Rozkład dwumianowy dla z wartościami i odpowiadającymi trójkątowi Pascala. Prawdopodobieństwo, że kulka w desce Galtona o 8 warstwach () wpadnie do środkowego pojemnika (), wynosi .
Powyższy wzór na funkcję masy prawdopodobieństwa można uzasadnić następująco:
a) Człon określa prawdopodobieństwo otrzymania w ciągu niezależnych prób Bernoulliego dokładnie sukcesów oraz porażek w ustalonej kolejności.
b) Ponieważ próby są niezależne, każdy ciąg prób zawierający sukcesów ma takie samo prawdopodobieństwo, niezależnie od położenia sukcesów w ciągu. Takich ciągów jest – współczynnik dwumianowy zlicza liczbę sposobów uzyskania sukcesów w próbach.
c) Rozkład dwumianowy opisuje prawdopodobieństwo uzyskania dowolnego z tych ciągów, dlatego prawdopodobieństwo otrzymania dokładnie sukcesów jest sumą prawdopodobieństw wszystkich takich ciągów. Stąd .
Oznaczenia Jeżeli zmienna losowa ma rozkład dwumianowy z parametrami i , to piszemy:
lub
.
Przykład 1 Wykaż, że rozkład dwumianowy jest unormowany.
Rozwiązanie: Do wzoru dwumianowego podstawiamy . Otrzymujemy natychmiast
co dowodzi, że rozkład dwumianowy jest unormowany do 1.
Uwaga: Nazwa rozkład dwumianowy pochodzi od nazwy powyżej użytego wzoru dwumianowego.
Przykład 2 Załóżmy, że rzucamy niesymetryczną monetą, w której reszka pojawia się z prawdopodobieństwem 0,3. Prawdopodobieństwo otrzymania dokładnie 4 reszek w 6 rzutach wynosi
Wartość oczekiwana i wariancja Wartość oczekiwana rozkładu dwumianowego:
Wariancja rozkładu dwumianowego:
Suma rozkładów dwumianowych Jeżeli oraz są dwiema niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładach dwumianowych, to ich suma jest zmienną losową o rozkładzie dwumianowym z próbami i – prawdopodobieństwem sukcesu w pojedynczej próbie, czyli
oraz dla . Rozkład dwumianowy w językach programowania i arkuszach kalkulacyjnych W wielu językach programowania i arkuszach kalkulacyjnych dostępne są funkcje statystyczne umożliwiające obliczenia dla rozkładu dwumianowego. Poniżej zestawiono wybrane z nich.
Języki programowania Python (biblioteka scipy.stats) funkcja masy prawdopodobieństwa: binom.pmf(k, n, p) – zwraca prawdopodobieństwo dla , dystrybuanta: binom.cdf(k, n, p) – zwraca prawdopodobieństwo , generowanie N_losowych wartości z rozkładu : binom.rvs(n, p, size=N_losowych) R funkcja masy prawdopodobieństwa: dbinom(k, n, p) dystrybuanta: pbinom(k, n, p) to generowanie N_losowych wartości: rbinom(N_losowych, n, p)
Arkusze kalkulacyjne Arkusze Google funkcja masy prawdopodobieństwa: BINOM.DIST(k; n; p; FAŁSZ), np. BINOM.DIST(3; 7; 0,5; FAŁSZ), dystrybuanta: BINOM.DIST(k; n; p; PRAWDA)
Microsoft Excel funkcja masy prawdopodobieństwa: ROZKŁ.DWUM(k; n; p; FAŁSZ) dystrybuanta: ROZKŁ.DWUM(k; n; p; PRAWDA)
Przykład obliczeń (Python) from scipy.stats import binom
# Dane: n = 10 # liczba prób p = 0.5 # prawdopodobieństwo sukcesu k = 5 # liczba sukcesów
# Obliczenia: # 1. Prawdopodobieństwo k sukcesów: P(X = 5) print("Prawdopodobienstwo_k_sukcesow =", binom.pmf(k, n, p))
# 2. Dystrybuanta: P(X <= k) print("Dystrybuanta_k =", binom.cdf(k, n, p))
# 3. Generowanie 1000 losowych próbek z tego rozkładu print("Proba_losowa =", binom.rvs(n, p, size=1000))
Przybliżenie normalne rozkładu dwumianowego Rozkład dwumianowy przybliża się innymi rozkładami, aby uprościć i przyspieszyć obliczenia, zwłaszcza dla dużych wartości , gdy dokładne wyznaczenie prawdopodobieństw jest pracochłonne. Ponadto przybliżenia pozwalają korzystać z prostszych metod analizy i ułatwiają interpretację otrzymanych wyników.
Przybliżenie rozkładem normalnym Z twierdzenia de Moivre'a-de Laplace'a wynika, że rozkład dwumianowy można przybliżyć rozkładem normalnym dla dostatecznie dużych wartości , rzędu kilkudziesięciu. Ponadto, muszą być spełnione warunki: oraz . Wtedy rozkład dwumianowy można przybliżać rozkładem normalnym z parametrami:
gdzie – wartość oczekiwana rozkładu normalnego, – wariancja rozkładu normalnego.
Funkcję masy prawdopodobieństwa rozkładu dwumianowego przybliża wtedy wzór (z tzw. poprawką na ciągłość):
a złożone prawdopodobieństwa oblicza się z wykorzystaniem dystrybuanty standaryzowanej zmiennej normalnej (z poprawką na ciągłość)
Uwaga: Wartość oczekiwana i wariancja rozkładu normalnego, który przybliża rozkład dwumianowy zmiennej losowej , są równe odpowiednio wartości oczekiwanej i wariancji rozkładu dwumianowego. Istotna zaś pozostaje różnica: rozkład normalny jest ciągły, a dwumianowy jest dyskretny (stąd potrzebna jest poprawka na ciągłość).
Przykład 3 (rozkład płci dzieci przy dużej liczbie prób) thumb|Śpiące niemowlę. O jego płci zdecydował proces losowy.|250x250px Pokazano tu modelowanie statystyczne i weryfikację numeryczną rozkładu płci przy dużej liczbie prób, w odpowiedzi na pytanie: Jakie jest prawdopodobieństwo, że wśród noworodków będzie więcej chłopców niż dziewczynek?
Rozwiązanie: Poczęcia poszczególnych dzieci są od siebie niezależne, a płeć każdego z nich jest losowa. Mamy tu schemat Bernoulliego złożony z doświadczeń losowych. Opierając się na danych statystycznych prawdopodobieństwo płci męskiej noworodka wynosi Liczbę chłopców można traktować jako zmienną losową o rozkładzie dwumianowym z parametrami i
Szukane prawdopodobieństwo ma postać
Bezpośrednie obliczenie tej sumy byłoby niezwykle trudne bez komputera, dlatego w statystyce stosuje się przybliżenie rozkładem normalnym. Ponieważ oraz , to ten rozkład dwumianowy znakomicie przybliża się rozkładem normalnym z parametrami:
Wartość dla oblicza się stosując przybliżenie rozkładem normalnym z poprawką na ciągłość; liczymy wartość dystrybuanty standaryzowanej zmiennej normalnej dla granicy
Stąd
Z tablic rozkładu normalnego odczytujemy, że i ostatecznie
Oznacza to, że prawdopodobieństwo, iż urodzi się więcej chłopców niż dziewczynek wynosi , co oznacza, że zdarzenie to jest statystycznie niemal pewne.
Dokładne obliczenie numeryczne w Python za pomocą dystrybuanty rozkładu dwumianowego, z zastosowaniem instrukcji
daje bardzo małą różnicę = . Dowodzi to, że przybliżenie rozkładem normalnym jest w tym wypadku znakomite.
Przybliżenie rozkładem Poissona
Warunki przybliżenia rozkładem Poissona Z twierdzenia Poissona wynika, że jeżeli jest duże (rzędu co najmniej kilkudziesięciu), a jest małe, to dobrym przybliżeniem rozkładu dwumianowego jest rozkład Poissona z parametrem
oraz
Przybliżenie to jest dla celów praktycznych wystarczająco dokładne, gdy: , . Inni autorzy wskazują, że rozkład Poissona jest dobrym przybliżeniem rozkładu dwumianowego, jeśli i , zaś bardzo dobrym, jeśli i NIST/SEMATECH, '6.3.3.1. Counts Control Charts', e-Handbook of Statistical Methods, accessed 25 October 2006..
Przykład 4 (seria badań aparatów) thumb|Kontrola jakości w fabryce części do maszyn do szycia w Dreźnie, 1977.|251x251px
Załóżmy, że prawdopodobieństwo uszkodzenia aparatu podczas testu jakości wynosi . Należy obliczyć prawdopodobieństwo, że w partii aparatów uszkodzonych zostanie mniej niż pięć sztuk.
Rozwiązanie: Testowanie partii aparatów można traktować jako serię 100 niezależnych prób Bernoulliego, gdzie „sukcesem” jest wykrycie jednostki uszkodzonej. Liczba uszkodzonych aparatów ma zatem rozkład dwumianowy o parametrach i : . Szukane prawdopodobieństwo jest sumą prawdopodobieństw dla :
Ponieważ spełnione są typowe warunki stosowania tego przybliżenia oraz , do obliczeń można wykorzystać przybliżenie rozkładem Poissona z parametrem :
Porównanie wyników pokazuje, że błąd względny przybliżenia wynosi w tym przypadku około 1%.
Do precyzyjnych obliczeń numerycznych dystrybuanty rozkładu dwumianowego można wykorzystać biblioteki statystyczne. Poniższy kod w języku Python oblicza prawdopodobieństwo dla zadanego przedziału przy użyciu funkcji binom.cdf i równania
: from scipy.stats import binom # Dane: n = 100 p = 0.05 k1 = 0 k2 = 4
# P(k1 <= X <= k2) prob = binom.cdf(k2, n, p) - binom.cdf(k1 - 1, n, p) print(f"P({k1} <= X <= {k2}) = {prob}")
Zobacz też Inne rozkłady z seriami prób Bernoulliego:
rozkład geometryczny ujemny rozkład dwumianowy
Ogólne:
doświadczenie losowe
Przypisy
Bibliografia Lesław Gajek, Marek Kałuszka, Wnioskowanie statystyczne Modele i metody, Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, Warszawa 1993, str. 38. W. Krysicki, J. Bartos, W. Dyczka, K. Królikowska, M. Wasilewski, Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna w zadaniach, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 1998, cz. I Rachunek prawdopodobieństwa, str. 83-84. Lech. T. Kubik, Andrzej Krupowicz, Wprowadzenie do rachunku prawdopodobieństwa i jego zastosowań, Warszawa 1982, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, rozdział V Ważniejsze rozkłady zmiennych losowych, str. 167; rozdział VI. Twierdzenia graniczne związane z rozkładem dwumianowym, str. 193-215. Donald A. McQuarrie, Matematyka dla przyrodników i inżynierów, tom 3, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2006.
Linki zewnętrzne Piotr Stachura, nagrania dla Khan Academy na YouTube [dostęp 2026-03-08]: Wartość oczekiwana rozkładu dwumianowego, 3 sierpnia 2025. Wariancja rozkładu dwumianowego, 1 marca 2026.