Twierdzenie Gelfonda-Schneidera – twierdzenie teorii liczb, które pozwala stwierdzić, że liczby pewnej postaci (opisanej w twierdzeniu) są liczbami przestępnymi. Udowodnione po raz pierwszy w roku 1934 przez Aleksandra Gelfonda i niezależnie w roku 1935 przez Theodora Schneidera. Jest rozwiązaniem 7. problemu Hilberta. Uogólnieniem tego twierdzenia na skończone iloczyny potęg jest twierdzenie Bakera, za które autor otrzymał medal Fieldsa w 1970 r.
Twierdzenie Jeżeli i są liczbami algebraicznymi, nie jest liczbą wymierną, to każda wartość jest liczbą przestępną.
Uwagi i nie muszą być liczbami rzeczywistymi – w ogólności mogą być liczbami zespolonymi. W ogólności gdzie „log” oznacza logarytm zespolony, może przyjmować kilka wartości. To właśnie oznacza zwrot „każda wartość”. Równoważnie można sformułować twierdzenie Gelfonda w sposób następujący: jeżeli oraz są różnymi od zera liczbami algebraicznymi, to jest albo liczbą wymierną, albo przestępną. Pominięcie wymogu, by było liczbą algebraiczną sprawia, że twierdzenie przestaje być prawdziwe: jeśli np. i (jest to liczba przestępna), to jest liczbą algebraiczną. Pełny opis wartości tych i dla których jest liczbą przestępną nie jest znany.
Zastosowania Bezpośrednio z twierdzenia Gelfonda wynika, że następujące liczby są przestępne: Stała Gelfonda-Schneidera: oraz liczba Stała Gelfonda: jest jedną z wartości
Zobacz też dowód niekonstruktywny twierdzenie Lindemanna-Weierstrassa hipoteza Schanuela – twierdzenia Gelfonda i twierdzenie Lindemanna-Weierstrassa są wnioskami z tej hipotezy
Przypisy
Gelfonda-Schneidera