Obszar (w ) normalny względem osi OX – podzbiór D płaszczyzny z wyróżnionym kartezjańskim układem współrzędnych, który jest ograniczony dwoma wykresami funkcji ciągłych oraz prostymi równoległymi do osi OY.
Zbiór jest obszarem normalnym względem osi OX, jeśli
gdzie są funkcjami ciągłymi,
Proste i ograniczają obszar po prawej i lewej stronie, a krzywe i odpowiednio od góry i dołu.
Pole obszaru normalnego Pole obszaru normalnego dane jest wzorem
Dowód:
jest ciągła w przedziale zatem spełnia założenia twierdzenia Weierstrassa, więc zachodzi dla pewnego
Jeżeli to przesuwamy obszar o wektor
Otrzymany obszar bo przesunięcie o wektor (czyli translacja) jest izometrią.
Oznaczmy i
Pole tego obszaru normalnego jest równe różnicy dwóch trapezów krzywoliniowych:
ponieważ i różnią się od i tylko o stałą.
q.e.d.
Obszar normalny w przestrzeni trójwymiarowej Zbiór jest obszarem normalnym względem płaszczyzny xy jeśli istnieje obszar normalny oraz funkcje ograniczone i ciągłe takie, że:
Analogicznie definiuje się obszar normalny względem innych płaszczyzn.
Przypisy
Kategoria:Analiza matematyczna