Rozkład Pascala (ujemny rozkład dwumianowy) – dyskretny rozkład prawdopodobieństwa opisujący m.in. liczbę sukcesów i porażek w niezależnych i posiadających równe prawdopodobieństwo sukcesu próbach Bernoulliego. Jest uogólnieniem rozkładu geometrycznego dla wielu prób.

Termin „ujemny rozkład dwumianowy” nie jest w pełni usystematyzowany. Może dotyczyć jednego z kilku wariantów funkcji opisujących te same zmienne losowe z subtelnymi różnicami w parametryzacji – liczby prób, albo sukcesów lub porażek (czasem liczonych bez ostatniego), przy określonej wartości jednej z tych zmiennych. Momenty i inne charakterystyki poszczególnych wersji rozkładu różnią o proste transformacje. Nazwa „rozkład Pascala” opisuje z reguły warianty dla wartości całkowitych, liczonych bez ostatniego zdarzenia.

Wariant dla liczby sukcesów przed porażką Rozważmy ciąg niezależnych prób Bernoulliego z prawdopodobieństwem sukcesu równym Ustalmy liczbę Obserwujemy ten ciąg do momentu stwierdzenia -tej porażki. Oznaczmy ten moment przez O zmiennej losowej mówimy, że ma ujemny rozkład dwumianowy NB(r,p) z parametrami oraz

Niech ma rozkład NB(r,p). Wtedy (gdzie ) jeśli w -tym momencie zaszła porażka oraz w ciągu zaszło porażek. Zatem

czyli

Na rozkład ten można spojrzeć w następujący sposób: rozważamy ciąg niezależnych zmiennych o rozkładzie geometrycznym z parametrem sukcesu odpowiadające obserwacji naszego ciągu po porażce do porażki włącznie. Niech Wtedy zmienna losowa zliczająca jedynie liczbę sukcesów, ma rozkład ujemny dwumianowy z parametrami oraz Z tego otrzymujemy natychmiast wzór na wartość oczekiwaną zmiennej losowej o tym rozkładzie

W podobny sposób można wyprowadzić wzór na wariancję.

Dla porównania, w trochę innej definicji ujemnego rozkładu dwumianowego, porażkę zastępuje się sukcesem oraz nie odejmuje się parametru od momentu zajścia -tego sukcesu. Otrzymujemy wtedy zmienną losową o następujący rozkładzie

Zmienna ta jest sumą r niezależnych zmiennych o rozkładzie geometrycznym z parametrem sukcesu

Inne warianty Rozkład był prezentowany w literaturze na kilka różnych sposobów, z subtelnymi zmianami parametryzacji. Różnice w notacji dotyczą m.in. stosowania równoważności pomiędzy liczbą prób sukcesów i porażek np. tego, czy nośnik zaczyna się od 0 czy 1, oraz z możliwości przedstawienia wzoru z użyciem różnych form symbolu Newtona, także z wykorzystaniem tożsamości kombinacji dopełniających:

Poniższa tabela przedstawia niektóre spotykane formy rozkładu. zlicza: Nośnik i funkcja rozkładu prawdopodobieństwa Wzór sukcesów, przy danych porażkach dla (wariant opisany powyżej) prób, przy danych porażkach dla porażek, przy danych sukcesach dla SAS Institute, „Negative Binomial Distribution”, SAS(R) 9.4 Functions and CALL Routines: Reference, Fourth Edition, SAS Institute, Cary, NC, 2016. prób, przy danych sukcesach dla sukcesów, przy danych próbach (rozkład dwumianowy – dla porównania) dla

Wzór można także rozszerzyć dla niecałkowitych wartości z użyciem funkcji gamma, np.:

opisuje, jakie jest prawdopodobieństwo, że czas oczekiwania na -ty sukces będzie wynosił

Przypisy

Bibliografia

Kategoria:Rozkłady dyskretne Kategoria:Blaise Pascal