mały|Relacje przechodnie można przedstawiać diagramami Hassego; tutaj przykład przedstawiający inkluzję (zawieranie) podzbiorów w zbiorze trójelementowym. mały|Relacja zwycięstwa między ruchami jest przeciwprzechodnia. mały|Na płaszczyźnie dwie proste prostopadłe do jednej nie mogą być prostopadłe ze sobą, bo są równoległe. mały|Prostopadłość prostych w trójwymiarze nie jest przeciwprzechodnia – trzy osie układu współrzędnych kartezjańskich są prostopadłe parami.

Relacja przechodnia, relacja tranzytywna – relacja, która jeśli zachodzi dla pary oraz pary , to zachodzi też dla pary .

Relację dwuczłonową nazywa się przechodnią, gdy: .

Równoważnie, jest przechodnia dokładnie wtedy, gdy , gdzie „” oznacza działanie składania relacji dwuczłonowych Słownik teorio-mnogościowy, Katedra Podstaw Informatyki – Wydział Informatyki i Telekomunikacji Politechniki Wrocławskiej (WIT PWr), cs.pwr.edu.pl [dostęp 2025-05-13]..

Przechodniość jest jedną z definiujących cech praporządków, w tym relacji równoważności i porządków częściowych (skierowań).

Przykłady Relacje przechodnie: każda relacja równoważności, np. równość, relacje częściowego porządku (skierowania) jak: niewiększość (⩽) i niemniejszość (⩾), np. liczb, zawieranie zbiorów (⊆, ⊇), podzielność (|) w zbiorze liczb naturalnych porządki ostre (ścisłe jak): relacje mniejszości (<) i większości (>), bycie przodkiem (wstępnym), braterstwo rodzone (ścisłe).

Przeciwprzechodniość

Wśród relacji nieprzechodnich szczególną klasą są przeciwprzechodnie, in. atranzytywne – zachodzenie ich dla par (x,y) i (y,z) gwarantuje, że nie zachodzą dla (x,z). Przykłady: prostopadłość prostych na płaszczyźnie, zwycięstwo jednego gestu nad innym w grze w papier, kamień, nożyce.

Relacje, które nie są ani przechodnie, ani przeciwprzechodnie: relacja różności „”: i ale przecinanie się zbiorów, względna pierwszość liczb, prostopadłość prostych w trójwymiarze, liniowa niezależność dwóch wektorów, przemienność komutacja funkcji w danym zbiorze (działań jednoargumentowych) lub macierzy kwadratowych, współpłaszczyznowość (komplanarność) dwóch prostych, półprostych, odcinków lub wektorów, podgrupa normalna, rodzicielstwo – dziadkowie na ogół nie są rodzicami swoich wnuków, ale są wyjątki przez kazirodztwo.

Zobacz też Sylogizm warunkowy – jedna z tych reguł jest nazywana przechodniością implikacji

Przypisy

Kategoria:Własności relacji dwuczłonowych