thumb|360px|Punkt Brocarda trójkąta skonstruowany w punkcie przecięcia trzech okręgów Punkty Brocarda – szczególne punkty w trójkącie.

Francuski matematyk Henri Brocard (1845–1922), sformułował następujące zdanie:

W trójkącie o bokach znajduje się dokładnie jeden taki punkt że proste z bokami odpowiednio tworzą równe kąty tzn. prawdziwy jest następujący ciąg równości:

Punkt nazywa się pierwszym punktem Brocarda trójkąta Kąt jest kątem Brocarda trójkąta

Istnieje także drugi punkt Brocarda trójkąta punkt dla którego odcinki według tej kolejności, z bokami tworzą równe kąty, tzn. prawdziwy jest następujący ciąg równości:

Temu drugiemu punktowi Brocarda odpowiada ten sam kąt Brocarda, co pierwszemu punktowi Brocarda, tzn. kąt jest równy kątowi

Te dwa punkty Brocarda są ze sobą ściśle związane; w gruncie rzeczy odróżnienie pierwszego kąta od drugiego zależy od tego, w jakiej kolejności weźmiemy kąty trójkąta ! W ten sposób dla przykładu: pierwszy punkt Brocarda trójkąta jest równocześnie drugim punktem Brocarda w trójkącie

Konstrukcja Przykład:

Obieramy trzy niewspółliniowe punkty Kreślimy prostą przez punkty i prostą, a przez punkty i oraz prostą przez punkty i Kreślimy symetralną boku i oznaczamy ją przez Kreślimy prostą prostopadłą do prostej, a przez punkt Punkt przecięcia się symetralnej i prostej oznaczamy Z punktu kreślimy okrąg o promieniu Wówczas okrąg ten przechodzi także przez punkt i jest styczny do prostej Analogicznie konstruujemy okrąg przez punkty i styczny do prostej

a następnie okrąg przez punkty i styczny do prostej

Te trzy okręgi posiadają wspólny punkt – pierwszy punkt Brocarda trójkąta

Analogicznie konstruuje się drugi punkt Brocarda.

Równania kąta Brocarda Oznaczmy przez pole powierzchni trójkąta Wówczas kąt Brocarda można obliczyć następującymi równaniami:

Dla każdego trójkąta:

Właściwości Oba punkty Brocarda trójkąta są ze sobą sprzężone izogonalnie. Punkt środkowy dwóch punktów Brocarda znajduje się na tzw. osi Brocarda, która łączy punkt środkowy koła opisanego i punkt Lemoine.

Prosta łącząca punkty Brocarda jest prostopadła do osi Brocarda.

Przypisy

Linki zewnętrzne [dostęp 2024-10-30]. [dostęp 2024-10-30]. [dostęp 2024-10-30]. Brocard point , Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-10-30].

Kategoria:Obiekty określone dla trójkąta Kategoria:Twierdzenia o trójkącie