Wskaźnik uwarunkowania określa, w jakim stopniu błąd reprezentacji numerycznej danych wejściowych danego problemu wpływa na błąd wyniku. Wskaźnik uwarunkowania definiuje się jako maksymalny stosunek błędu względnego rozwiązania do błędu względnego danych. Problem o niskim wskaźniku uwarunkowania nazywamy dobrze uwarunkowanym, zaś problemy o wysokim wskaźniku uwarunkowania – źle uwarunkowanymi. Zagadnienia o zbyt dużym wskaźniku uwarunkowania nie nadają się do numerycznego rozwiązywania, ponieważ już sam błąd wynikający z numerycznej reprezentacji liczb wprowadza nieproporcjonalnie duży błąd w odpowiedzi.
Wskaźnik uwarunkowania jest cechą problemu i jest niezależny od numerycznych właściwości konkretnych algorytmów. W odróżnieniu od błędu zaokrągleń wprowadzonego przez algorytm, wskaźnik uwarunkowania stanowi informację o błędzie przeniesionym z danych.
Wskaźnik uwarunkowania macierzy
Wskaźnik uwarunkowania macierzy w równaniu jest charakterystyczną własnością macierzy informującą o tym, jakie wzmocnienie będzie miała zmiana normy macierzy A na normę rozwiązania x.
Wskaźnik uwarunkowania macierzy definiuje się bardziej precyzyjnie jako maksymalny stosunek błędu względnego wektora rozwiązania do błędu względnego
Załóżmy, że jest błędem Stąd błąd w rozwiązaniu wynosi Stąd stosunek relatywnego błędu rozwiązania do relatywnego błędu w wynosi:
Można to przekształcić do:
Maksymalna wartość (dla niezerowych i ) będzie iloczynem dwóch norm (definiowanych w różny sposób, np. często jako normę traktuje się maksymalną sumę wartości bezwzględnych wierszy):
Definicja ta jest taka sama dla każdej zwartej normy. Liczba ta pojawia się tak często w algebrze liniowej, że nadano jej nazwę wskaźnika uwarunkowania macierzy.
Zastosowania Wskaźnik uwarunkowania macierzy pozwala na oszacowanie, z jaką (maksymalnie) dokładnością (do ilu miejsc po przecinku) możemy podać wynik. Dokładność jest zależna od iloczynu epsilonu maszynowego i wskaźnika uwarunkowania. Załóżmy dla przykładu, że mamy macierz
Stosując tak zdefiniowaną normę: możemy obliczyć wskaźnik uwarunkowania
Załóżmy dodatkowo, że mamy do czynienia z maszyną, która przechowuje liczby rzeczywiste używając 24-bitowej mantysy, wtedy epsilon maszynowy wynosi Po pomnożeniu tych wartości możemy oszacować do ilu miejsc po przecinku otrzymany wynik będzie istotny na podstawie poniższej równości:
Obliczając m, możemy wnioskować, że w tym przypadku dokładność wyniesie 6 miejsc po przecinku.
Jako inny przykład rozpatrzmy prosty układ równań typu Jeśli do naszych obliczeń wybierzemy macierz o wysokim wskaźniku uwarunkowania, np.:
to otrzymane rozwiązanie jest niestabilne. Oznacza to, że mała zmiana wartości współczynników może znacząco wpłynąć na wynik.
W podanym wyżej przypadku rozwiązanie wynosi Jeśli zmodyfikujemy następująco wektor to otrzymamy rozwiązanie
W przypadku macierzy dobrze uwarunkowanej np.:
rozwiązanie wynosi
Jeśli zmodyfikujemy następująco wektor to otrzymamy rozwiązanie które jest zbliżone do poprzedniego.
Zobacz też efekt motyla regularyzacja Tichonowa
Linki zewnętrzne Zagadnienie uwarunkowania macierzy na Holistic Numerical Methods Institute
Kategoria:Metody numeryczne