Element nierozkładalny – element nieodwracalny pierścienia całkowitego, który nie daje się przedstawić jako iloczyn dwóch elementów nieodwracalnych, tzn. element pierścienia całkowitego jest nierozkładalny, gdy jest on nieodwracalny oraz jeżeli dla pewnych elementów i pierścienia to element albo element jest odwracalny.
Przykład Jeśli jest ciałem, to każdy wielomian liniowy jest nierozkładalny w pierścieniu Na ogół, w pierścieniu istnieją wielomiany nierozkładalne wyższych stopni, np. wielomian jest nierozkładalny w
Własności Każdy element stowarzyszony z elementem nierozkładalnym jest nierozkładalny. Każdy element pierwszy jest nierozkładalny. W pierścieniu noetherowskim każdy niezerowy, nieodwracalny element tego pierścienia można przedstawić jako iloczyn elementów nierozkładalnych. W pierścieniu ideałów głównych element jest nierozkładalny wtedy i tylko wtedy, gdy ideał generowany przez ten element, jest maksymalny, czyli wtedy i tylko wtedy, gdy pierścień ilorazowy jest ciałem.
Zobacz też kryterium Eisensteina pierścień z jednoznacznością rozkładu wielomian nierozkładalny
Przypisy
Bibliografia
Kategoria:Własności elementów pierścieni Kategoria:Teoria podzielności