Proces Bernoulliego (schemat Bernoulliego) – proces stochastyczny składający się z ciągu niezależnych zmiennych losowych takich że:

zmienne losowe przyjmują jedną z dwóch możliwych wartości lub (np. ) prawdopodobieństwo uzyskania wartości jest takie samo dla wszystkich zmiennych losowych i wynosi (i w konsekwencji prawdopodobieństwo uzyskania wartości jest takie samo dla wszystkich zmiennych losowych i wynosi ).

Tak zdefiniowany proces jest procesem stacjonarnym i ergodycznym.

Zmienne losowe o powyżej określonych własnościach nazywa się próbami Bernoulliego.

Przykład Rzucamy razy monetą. W każdym rzucie mamy identyczne prawdopodobieństwa: prawdopodobieństwo , że wypadnie orzeł oraz prawdopodobieństwo , że wypadnie reszka. Przy czym, jeżeli moneta jest symetryczna, to

Związek z rozkładami prawdopodobieństwa Proces Bernoulliego jest ściśle związany z następującymi rozkładami prawdopodobieństwa: rozkład dwumianowy (rozkład uzyskania sukcesów w ustalonej liczbie prób Bernoulliego), rozkład geometryczny (rozkład uzyskania pierwszego sukcesu po próbach), ujemny rozkład dwumianowy (rozkład uzyskania -tego sukcesu po próbach).

Uogólniony schemat Bernoulliego Uogólnionym schematem Bernoulliego nazywa się uogólnienie schematu Bernoulliego, które zakłada, że zmienne losowe mogą przyjmować możliwych wartości z prawdopodobieństwami odpowiednio , przy czym

Wydarzenia W Annals of Mathemathics nr (3) 2014 ukazała się praca Witolda Bednorza i Rafała Latały On the boundedness of Bernoulli processes, gdzie autorzy udowodnili tzw. hipotezę Bernoulliego, sformułowaną ok. 25 lat temu przez Michela Talagranda i mówiącą, że istnieją zasadniczo tylko dwa sposoby szacowania supremum procesu Bernoulliego. Jeden sposób polega na ograniczeniu jednostajnym i brutalnym dostawieniu modułów, drugi zaś na szacowaniu przez supremum dominującego procesu gaussowskiego. Za dowód hipotezy autorzy odebrali nagrodę w wys. 5000 USD, ufundowaną przez Talagranda, który na swojej stronie pisze "Their proof is simply stunningly beautiful".

Przypisy

Bibliografia

Lech T. Kubik, Andrzej Krupowicz, Wprowadzenie do rachunku prawdopodobieństwa i jego zastosowań, Warszawa 1982, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, str. 59-61 oraz 307-308.

Kategoria:Procesy stochastyczne