Grupa ilorazowa – zbiór warstw danej grupy względem jej pewnej podgrupy normalnej, tj. szczególny podział grupy (na niepuste podzbiory) uwzględniający jej strukturę, który sam tworzy grupę z naturalnie określonym działaniem pochodzącym od grupy wyjściowej. Z teoriomnogościowego punktu widzenia jest to zbiór ilorazowy, w którym wprowadzono zgodne z działaniem w grupie działanie na klasach relacji równoważności wyznaczającej wspomniany podział.

W przypadku grup w zapisie addytywnym powinno mówić się formalnie o „grupach różnicowych”, zamiast bardziej adekwatnych w zapisie multiplikatywnym „grupach ilorazowych”W związku z tym zamiast dalej omawianej notacji „” dla grupy ilorazowej wraz z nazwą „grupa różnicowa” stosowana powinna być notacja „”; nawet mimo to, że notacja warstw w zapisie multiplikatywnym ma postać a w addytywnym – „” (warstwy są elementami grup ilorazowych/różnicowych)., co czynili klasyczni badacze teorii grup, np. Zariski i Samuel, czy Jacobson; współcześnie stosuje się wyłącznie nazewnictwo i notację multiplikatywną – nawet w przypadku grup w zapisie addytywnym, zob. Lang, czy Fuchs. W artykule utrzymano współcześnie stosowaną konwencję.

Motywacja

Konstrukcja grupy ilorazowej ma na celu uogólnienie arytmetyki modularnej grupy addytywnej w której działania pochodzą z grupy addytywnej liczb całkowitych na dowolną grupę (zob. Przykłady). Dla danych grupy i jej dowolnej podgrupy należy więc wprowadzić takie działanie dwuargumentowe na zbiorze warstw grupy względem które byłoby odzwierciedleniem działania w grupie i uczyniłoby ze zbioru warstw grupę. Natychmiast pojawiają się dwa problemy: Po pierwsze istnieją zbiory warstw lewostronnych i prawostronnych grupy względem jeżeli jest przemienna, to zbiory te są równe, jednakże w ogólności mogą się one istotnie od siebie różnić (zob. przykład). W którym z nich wprowadzić strukturę grupy? Może oba te zbiory można przekształcić w grupy? Jeśli tak, to jaka zachodzi między nimi relacja? Jeśli nie, to dlaczego jest to niemożliwe? Druga kwestia dotyczy samego działania. Zasadniczym problemem wprowadzania działania na zbiorze jest to, czy dodawanie elementów tego zbioru jest dobrze określone; wtedy sprawdzenie, że jest grupą nie przedstawia większych problemów. Podobnie ma się rzecz z grupą ilorazową.

Okazuje się, że postawione zagadnienia są ze sobą blisko powiązane i dlatego odpowiedzi na nie zostaną przedstawione równocześnie.

Wprowadzenie

Niech będzie grupą, a będzie jej dowolną podgrupą, zaś oznacza zbiór warstw lewostronnych grupy względem czyli podzbiorów postaci dla Najbardziej naturalnym kandydatemNa zbiorze warstw lewostronnych grupy względem można określić działanie wzorem które nie daje struktury grupy, gdyż jest jedynie działaniem grupy na zbiorze Na zbiorze warstw, jak na każdym innym zbiorze, można określić działanie czyniące z niego grupę (pod założeniem aksjomatu wyboru; w istocie jest to równoważne aksjomatowi wyboru, zob. grupa wolna), jednakże w ogólności nie będzie miało ono żadnego związku z działaniem w na działanie w jest wybór elementów zgodnie ze wzorem

Należy jednak najpierw sprawdzić, iż tak zadane działanie jest dobrze określone na gdyż powyższy wzór wskazujący iloczyn wykorzystuje do tego elementy które mogą być przecież wybrane na wiele sposobów. Powyższa reguła mówi w istocie, że aby obliczyć iloczyn elementów należy najpierw wziąć dla którego następnie wziąć dla którego po czym obliczyć iloczyn w grupie i wreszcie wybrać warstwę odpowiadającą iloczynowi która ma być iloczynem Dlatego należy się upewnić, że w wyniku zastosowania tej procedury dla danych dwóch warstw lewostronnych otrzymuje się zawsze tę samą warstwę lewostronną; nawet wtedy, gdy wybrano inne elementy z warstw lewostronnych do ich reprezentowania. Problem ten można podsumować następująco: czy wspomnianym warstwom lewostronnym przyporządkowuje się zawsze ten sam iloczyn niezależnie od sposobu ich identyfikacji (tzw. funkcyjność) i czy sam jest on warstwą lewostronną (tzw. zamkniętość), tj. czy tak zdefiniowane mnożenie jest działaniem wewnętrznymZwykle definicje funkcji są dobrze określone, jednakże o konieczności sprawdzania może przekonać zdefiniowany w następujący sposób homomorfizm grup dany jako funkcja tożsamościowa (bądź nieco dokładniej: ). W tym przypadku zachodzi sprzeczność ?

Powyższy wzór daje dobrze określone działanie wtedy i tylko wtedy, gdy dla wszystkich i zachodzi implikacja postaci: oraz pociągają co korzystając z własności warstw można zapisać w równoważnej postaci: oraz pociąga co po podstawieniu upraszcza się do przy czym (korzystając raz jeszcze z własności warstw) można zapisać to jako czy też dla każdego Konieczność normalności widać dokładniej przy następującym przedstawieniu warunku dobrego określenia działania: dla dowolnych równość ma pociągać a z równości ma wynikać W drugiej implikacji nie wymaga się niczego ponad łączność działania w jednakże w pierwszej niezbędny jest krok od do a więc zapewnienie dla każdego . Ostatni wzór jest jedną z charakteryzacji podgrupy jako podgrupy normalnej w dlatego też działanie mnożenia warstw lewostronnych grupy względem podgrupy jest dobrze określone wtedy i tylko wtedy, gdy podgrupa jest normalnaPodsumowując – konieczność: jeżeli oraz to dostateczność: dla każdego na mocy (zobacz warstwa: Własności), zachodzi równość oraz czyli zatem a więc dla każdego skąd gdzie .

Wspomniany warunek normalności jest równoważny innemu, mianowicie dla każdego oznacza on, że każda warstwa lewostronna jest równocześnie warstwą prawostronną względem innymi słowy zbiory warstw lewo- i prawostronnych grupy względem są równe wtedy i tylko wtedy, gdy jest normalna w – daje to odpowiedź na oba z postawionych w poprzedniej sekcji pytań: nie ma potrzeby przejmować się rozróżnianiem tych zbiorów wtedy (i tylko wtedy), gdy działanie jest dobrze określone (w związku z tym działanie na warstwach prawostronnych również jest dobrze określone: w istocie działania te są wtedy identyczne).

Konstrukcje Powyższe rozważania prowadzą wprost do konstrukcji wprowadzającej mnożenie warstw opisanej w kolejnej sekcji, bardziej naturalną konstrukcję opisano w sekcji Iloczyn kompleksowy, zaś najogólniejszą z nich opisano w sekcji Kongruencja.

Mnożenie warstw

Niech będzie podgrupą normalną w grupie Zbiór z działaniem mnożenia warstw określonym wzorem

tworzy grupę: niezależność i wewnętrzność: zgodnie z powyższym rozumowaniem działanie jest dobrze określone, a iloczyn dwóch warstw lewostronnych również jest warstwą lewostronną; łączność: dla dowolnych zachodzi na mocy łączności elementów element neutralny: warstwa jest lewostronnym elementem neutralnym, gdzie jest lewostronnym elementem neutralnym grupy, ponieważ dla wszystkich element odwrotny: każda warstwa lewostronna ma element odwrotny lewostronnie w postaci warstwy lewostronnej gdyż jest elementem neutralnym.

Grupę tę nazywa się grupą ilorazową lub krótko ilorazem przez i oznacza zwykle tak jak zbiór warstw, zazwyczaj

Iloczyn kompleksowy

Mnożenie warstw polegające na wyborze reprezentantów jest sztuczne: dużo naturalniejszym podejściem byłoby traktowanie wszystkich elementów warstw w jednakowy sposób, nie zaś wyróżnianie jednego z nich, a następnie wykazywanie, że nie jest to niesprawiedliwością w stosunku do pozostałych. Z tego powodu wprowadza się naturalnieZob. transformacja naturalna. określone działanie na dowolnych niepustych podzbiorach danej grupy nazywanych kompleksami, które w przypadku warstw (będących kompleksami) pokrywa się z opisanym wyżej mnożeniem warstw.

Jeżeli są kompleksami (tzn. niepustymi podzbiorami) grupy to ich iloczynem nazywa się zbiór dla warstw stosuje się notację oraz gdzie zaś jest podgrupą w Iloczyn kompleksowy warstw lewostronnych grupy względem podgrupy jest warstwą lewostronną wtedy i tylko wtedy, gdy podgrupa jest normalna. Otóż iloczynem oraz dla jest zbiór przy czym Zatem jest warstwą lewostronną grupy względem wtedy i tylko wtedy, gdy jest warstwą lewostronną względem zawierającą tzn. jest warstwą lewostronną względem wtedy i tylko wtedy, gdy Wystarczy więc wykazać, że dla wszystkich zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy jest normalna w Jeżeli jest normalna w to Istotnie: normalność oznacza dla każdego a więc dla dowolnych zachodzi gdyż (co wynika z ) oraz na mocy ogólnych własności iloczynu kompleksowego.Odwrotnie: zakładając dla dowolnych otrzymuje się tj. dla wszystkich co jest jedną z charakteryzacji normalności w grupie .

Porównując działania mnożenia warstw grupy względem podgrupy oraz ich iloczyn kompleksowy można zauważyć, że mnożenie dwóch warstw lewostronnych jest zawsze warstwą lewostronną, o ile działanie to jest dobrze określone, co ma miejsce wtedy i tylko wtedy, gdy jest normalna w z drugiej zaś strony iloczyn kompleksowy dwóch warstw jest zawsze dobrze określonym kompleksem, który jest warstwą lewostronną wtedy i tylko wtedy, gdy warstwy wyznaczane są przez podgrupę normalną: związek w powyższym rozumowaniu dowodzi, że działania te są identyczne pod warunkiem normalności podgrupy w grupie

Kongruencja

Z szerszego punktu widzenia przejście od relacji równoważności do warstw jest wygodnym (ze względu na algebraiczną charakteryzację klas równoważności), ale nieco ograniczającym (z uwagi na zawężoną stosowalność tego podejścia) krokiem: w przypadku algebr ogólnych nie można wyróżnić podalgebry będącej odpowiednikiem podgrupy normalnej, która wskazywałaby relację równoważności zachowującą daną strukturę algebraiczną – jedynym właściwym rozwiązaniem jest pozostanie przy relacjach równoważności i zagwarantowanie w algebrze ilorazowej dobrego określenia (niezależności od wyboru reprezentantów) działań pochodzących z algebry wyjściowejJest to równoważne ze zgodnością z homomorfizmami danej algebry (które ją zachowują; por. warstwa: Motywacja)..