Pierścień przemienny (rzad. komutatywny) – pierścień, w którym mnożenie jest przemienne („komutatywne”), czyli którego wszystkie elementy ze sobą komutują, tj. dla dowolnych elementów danego pierścienia zachodzi

Badaniem pierścieni przemiennych zajmuje się algebra przemienna. Często zakłada się dodatkowo istnienie w takim pierścieniu elementu neutralnego mnożenia (zob. pierścień z jedynką).

Przykłady Jednym z ważniejszych przykładów pierścienia przemiennego (z jedynką) jest pierścień liczb całkowitych wraz z naturalnymi działaniami dodawania i mnożenia, oznaczany . Dowolne ciało, jak np. ciała liczb wymiernych, rzeczywistych i zespolonych, jest pierścieniem przemiennym. Zbiór wszystkich rzeczywistych macierzy kwadratowych stopnia z działaniami dodawania i mnożenia macierzy tworzy pierścień, który nie jest przemienny, przykładowo:

Pierścienie klas reszt modulo , oznaczane symbolami , są przemienne dla dowolnego Jeżeli jest pierścieniem przemiennym, to zbiór wszystkich wielomianów zmiennej o współczynnikach z wraz z naturalnymi działaniami dodawania i mnożenia wielomianów tworzy pierścień wielomianów który również jest przemienny. Jeżeli jest przestrzenią topologiczną (np. podzbiorem , dla pewnego ), to zbiór funkcji ciągłych o wartościach rzeczywistych bądź funkcji ciągłych o wartościach zespolonych, określonych na przestrzeni ; tworzy pierścień przemienny. Analogiczne twierdzenie jest prawdziwe dla funkcji różniczkowalnych, jak i dla funkcji holomorficznych, jeśli tylko pojęcia różniczkowalności bądź holomorficzności są dobrze zdefiniowane na przestrzeni (np. jeśli jest rozmaitością zespoloną, to dla funkcji na , oba te pojęcia są dobrze zdefiniowane). Zbiór wszystkich liczb postaci gdzie i są dowolnymi liczbami całkowitymi. Twierdzenie Wedderburna: każdy skończony pierścień z dzieleniem (tj. taki, w którym każdy niezerowy element jest odwracalny), jest przemienny (a więc jest ciałem).

Przypisy

Linki zewnętrzne Commutative ring , Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2025-04-23].

Kategoria:Rodzaje pierścieni Kategoria:Algebra przemienna