Opisowa teoria mnogości – poddziedzina teorii mnogości poświęcona badaniom definiowalnych podzbiorów przestrzeni polskich. Rozwinęła się w pierwszej połowie XX wieku na styku teorii funkcji rzeczywistych, topologii, teorii miary i logiki matematycznej.
W klasyfikacji MSC 2000 badań naukowych w matematyce (prowadzonej przez Amerykańskie Towarzystwo Matematyczne) opisowa teoria mnogości oznaczana jest kodem 03E15.
Klasycznymi źródłami informacji w tej dziedzinie matematyki są monografie Yiannisa Moschovakisa oraz Aleksandra Kechrisa. Z literatury dostępnej w języku polskim należy wymienić monografię Kazimierza Kuratowskiego i Andrzeja Mostowskiego, a także książkę Wojciecha Guzickiego i Pawła Zbierskiego.
Klasy zbiorów punktowych w przestrzeniach polskich Podstawowymi klasami zbiorów badanych w klasycznej opisowej teorii mnogości są zbiory borelowskie oraz szersza klasa zbiorów rzutowych i ich efektywne wersje. Własności tych klas mogą być interesujące nawet dla matematyków nastawionych na skrajną konstruowalność.
Funkcje rozważane w opisowej teorii mnogości są zwykle mierzalne względem σ-ciała zbiorów borelowskich (czyli są to funkcje borelowskie). Wśród funkcji borelowskich wyróżnia się izomorfizmy borelowskie, czyli bijekcje pomiędzy przestrzeniami polskimi, które są borelowskie i dla których funkcja odwrotna też jest borelowska. Powiązanymi (i badanymi) klasami funkcji są też klasy Baire’a.
Wszystkie doskonałe przestrzenie polskie są borelowsko izomorficzne, co więcej – każda przestrzeń polska jest ciągłym różnowartościowym obrazem domkniętego podzbioru przestrzeni Baire’a Często dowody przeprowadza się właśnie w przestrzeni Baire’a (która jest homeomorficzna z przestrzenią liczb niewymiernych), ale rozważania są też prowadzone w innych doskonałych przestrzeniach polskich i każdą z nich traktuje się jak prostą rzeczywistą. To podejście pozwala zawsze ustalić taką przestrzeń, dla której nasz dowód jest najbardziej elegancki, a jednocześnie pozwala formułować twierdzenia tak, że mówią o najbardziej popularnym obiekcie w matematyce: prostej.
Przypomnijmy definicje klas borelowskich i rzutowych. Niech będzie przestrzenią polską.
Borelowskie podzbiory Przez indukcję po liczbach porządkowych definiujemy rodziny oraz podzbiorów przestrzeni jest rodziną wszystkich otwartych podzbiorów to rodzina wszystkich dopełnień zbiorów z (czyli jest to rodzina zbiorów domkniętych). Ponadto kładziemy czyli jest rodziną wszystkich otwarto-domkniętych podzbiorów Przypuśćmy, że zdefiniowaliśmy już dla Określamy: jest rodziną wszystkich zbiorów postaci gdzie (dla wszystkich ), jest rodziną wszystkich zbiorów takich, że
Elementy rodziny nazywamy borelowskimi podzbiorami przestrzeni .
Rzutowe podzbiory Przez indukcję po liczbach naturalnych klasy oraz jest rodziną tych wszystkich podzbiorów przestrzeni że dla pewnego zbioru borelowskiego mamy jest rodziną tych podzbiorów przestrzeni że jest rodziną tych podzbiorów przestrzeni że dla pewnego mamy jest rodziną tych podzbiorów przestrzeni że
Definiujemy również
Elementy rodziny nazywamy rzutowymi podzbiorami przestrzeni .
Wybrane własności klas punktowych Niech będzie przestrzenią polską. Zachodzą następujące inkluzje (gdzie „” jest reprezentowane przez strzałkę „”): {|align="center"|
|align=center|
|align=center|
|align=center|
|align="center"|
dla wszystkich oraz
{|align="center"|
|align=center|
|align=center|
|align=center|
|align="center"|
Jeśli przestrzeń jest nieprzeliczalna, to wszystkie inkluzje powyżej są właściwe. jest rodziną wszystkich borelowskich podzbiorów przestrzeni Jest to σ-ciało podzbiorów Ciągły różnowartościowy obraz borelowskiego podzbioru przestrzeni polskiej jest zbiorem borelowskim. Każdy zbiór klasy jest sumą zbiorów borelowskich. Twierdzenie uniformizacyjne Kondo-Nowikowa: Jeśli są przestrzeniami polskimi oraz to można wybrać zbiór zawarty w i taki, że dla wszystkich
(Powyżej kwantyfikator oznacza istnieje dokładnie jeden).
Regularność klas punktowych Pytania dotyczące regularności klas punktowych są w centrum zainteresowań opisowej teorii mnogości. Regularność może mieć wiele znaczeń i może odnosić się do mierzalności w sensie Lebesgue’a, własności Baire’a, własności Ramseya, własności zbioru doskonałego i innych własności tego typu. Przykładowe twierdzenia dotyczące tej tematyki to: wszystkie zbiory klasy mają własność Baire’a i są mierzalne w sensie Lebesgue’a, każdy zbiór klasy jest albo przeliczalny, albo zawiera podzbiór doskonały, każdy podzbiór przestrzeni nieskończonych podzbiorów ma własność Ramseya, jeśli wszystkie zbiory klasy są mierzalne, to wszystkie zbiory klasy mają własność Baire’a, jeśli założymy aksjomat determinacji rzutowej PD, to wszystkie zbiory rzutowe mają własność Baire’a i są mierzalne w sensie Lebesgue’a oraz każdy nieprzeliczlany zbiór rzutowy zawiera podzbiór doskonały, jeśli założymy aksjomat konstruowalności, to istnieje podzbiór prostej, który nie jest mierzalny w sensie Lebesgue’a i który nie ma własności Baire’a, oraz istnieje nieprzeliczalny zbiór klasy który nie zawiera żadnego podzbioru doskonałego.
Dla szerszego przeglądu tej tematyki odsyłamy czytelnika do monografii Tomka Bartoszyńskiego i Haima Judaha.
Definiowalne relacje równoważności W ostatnich latach kluczowe badania dotyczą definiowalnych relacji równoważności oraz działań grup (przede wszystkim grup polskich, tzn. grup topologicznych będących przestrzeniami polskimi).
Definicje Niech będą przestrzeniami polskimi. Relacja na przestrzeni jest borelowska (analityczna itd.), jeśli jest ona borelowskim (analitrycznym itd.) podzbiorem przestrzeni Przypuśćmy, że jest relacją równoważności na a jest relacją równoważności na Powiemy, że relacja jest borelowsko redukowalna do F, jeśli istnieje funkcja borelowska taka, że
W powyższej sytuacji piszemy
Relacja borelowskiej redukcji jest konceptualnie bliska pojęciu bycia mocy nie większej niż. Jeśli to mamy „świadka” na nierówność który może być „podniesiony” do borelowskiego odwzorowanika z do Jeśli oraz to powiemy, że przestrzenie ilorazowe i mają tę samą moc borelowską. Piszemy wówczas
Podstawowe własności Przy badaniu definiowalnych relacji równoważności utożsamia się każdą przestrzeń polską z relacją równości określonej na tej przestrzeni. Zwyczajowo też używa się symbolu na oznaczenie następującej relacji na liczbach rzeczywistych: wtedy i tylko wtedy, gdy różnica jest liczbą wymierną. (tzn, ale ). Jeśli jest relacją równoważności klasy to albo lub Jeśli jest borelowską relacją równoważności, to albo lub Dla każdej borelowskiej relacji równoważności istnieje borelowska relacja równoważności taka, że Wśród borelowskich relacji równoważności o przeliczalnych klasach abstrakcji istnieje element -największy. W tej samej rodzinie relacji można wybrać nieprzeliczalnie wiele parami -nieporównywalnych relacji.
Zobacz też gry nieskończone uniwersum konstruowalne zbiory analityczne zbiór typu F-sigma zbiór typu G-delta
Przypisy
Linki zewnętrzne Descriptive set theory , Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org, [dostęp 2023-06-18].
Kategoria:Deskryptywna teoria mnogości Kategoria:Działy topologii