Przestrzenie Lindelöfa – przestrzeń topologiczna o tej własności, że z dowolnego jej pokrycia otwartego można wybrać podpokrycie przeliczalne. Niektórzy autorzy (np. Engelking) wymagają dodatkowo, by przestrzeń była ponadto regularna.
Nazwę wprowadzili w 1929 roku Pawieł Aleksandrow i Pawieł UrysohnP. Alexandroff, P. Urysohn, Mémoire sur les espaces topologiques compacts dédié à Monsieur D. Egoroff. Verhandelingen Amsterdam 14, Nr. 1, (1929), s. 93.; pochodzi od nazwiska fińskiego matematyka, Ernsta Lindelöfa, który udowodnił w 1903 roku, że przestrzenie euklidesowe mają opisaną wyżej własnośćE. Lindelöf, Sur quelques points de la théorie des ensembles. C.R. Acad. Paris 137 (1903), s. 697–700..
Przykłady Zbiór liczb rzeczywistych z topologią naturalną (tj. porządkową/przedziałową) oraz z topologią strzałki jest przestrzenią Lindelöfa. Płaszczyzna Niemyckiego jest przestrzenią ośrodkową, która nie jest przestrzenią Lindelöfa.
Własności Każda przestrzeń zwarta jest przestrzenią Lindelöfa. Dowolna przestrzeń spełniająca drugi aksjomat przeliczalności jest przestrzenią Lindelöfa, lecz nie na odwrót – przestrzeń Lindelöfa nie musi spełniać drugiego aksjomatu przeliczalności; na przykład wspomniana wyżej prosta z topologią strzałki nie ma bazy przeliczalnej. Każda domknięta podprzestrzeń przestrzeni Lindelöfa jest też przestrzenią Lindelöfa. Suma rodziny niepustych przestrzeni topologicznych {Xs : s ∊ S} jest przestrzenią Lindelöfa wtedy i tylko wtedy, gdy zbiór S jest przeliczalny oraz każdy składnik Xs jest przestrzenią Lindelöfa. W każde pokrycie otwarte regularnej przestrzeni Lindelöfa można wpisać pokrycie otwarte lokalnie skończone. Każda regularna przestrzeń Lindelöfa jest normalna. Produkt przestrzeni Lindelöfa niekoniecznie jest przestrzenią Lindelöfa. Przykładem może być iloczyn dwóch prostych z topologią strzałki, który nie jest przestrzenią normalną (mimo że jest przestrzenią regularną). Istnieją modele teorii mnogości Zermela-Fraenkla (bez aksjomatu wyboru), w których produkt dwóch dowolnych przestrzeni Lindelöfa jest przestrzenią Lindelöfa. Otwarta podprzestrzeń przestrzeni Lindelöfa nie musi być przestrzenią Lindelöfa: każda przestrzeń lokalnie zwarta (np. przestrzeń dyskretna) jest otwartą podprzestrzenią swojego uzwarcenia jednopunktowego (Aleksandrowa). Ciągły obraz przestrzeni Lindelöfa jest przestrzenią Lindelöfa. Każda przeliczalnie zwarta przestrzeń Lindelöfa jest zwarta. Przestrzeń metryczna jest przestrzenią Lindelöfa wtedy i tylko wtedy, gdy spełnia drugi aksjomat przeliczalności oraz wtedy i tylko wtedy, gdy jest ośrodkowa.
Przypisy
Bibliografia
Linki zewnętrzne Lindelöf space , Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2025-07-16].
Kategoria:Własności przestrzeni topologicznych