Szereg funkcyjny – szereg, którego wyrazami są funkcje o wspólnej dziedzinie. Dla każdego punktu dziedziny suma szeregu wartości funkcji w tym punkcie (o ile istnieje) jest sumą zwykłego szeregu liczbowego. W zastosowaniach najczęściej pojawiają się szeregi funkcyjne zmiennej rzeczywistej lub zespolonej o wartościach rzeczywistych lub zespolonych, jednakże pojęcie szeregu funkcyjnego ma sens także w przypadku funkcji o wartościach w ogólnych przestrzeniach funkcyjnych (np. przestrzeniach Banacha).

Szeregi funkcyjne pojawiają się w naturalny sposób w analizie matematycznej i fizyce. Na przykład: szeregi Fouriera są narzędziem w badaniu możliwości przedstawienia skomplikowanej funkcji (zwykle funkcji okresowej – w fizyce i technice – ruchu drgającego) przy pomocy szeregu prostszych funkcji okresowych typu sinus i cosinus – tzw. harmonik (zob. analiza harmoniczna); szeregi Taylora służą do przedstawiania funkcji stosunkowo skomplikowanych przy pomocy szeregów o wyrazach będących wielomianami (czyli o dużo prostszej naturze) zależnych od kolejnych pochodnych (zob. wzór Taylora, analiza numeryczna); szeregi Laurenta są narzędziem podobnym do szeregów Taylora, służącym do rozwijania funkcji zmiennej zespolonej w szeregi potęgowe o wykładnikach całkowitych. Rozkład funkcji w szereg Laurenta niesie dodatkowe informacje o regularności samej funkcji (zob. analiza zespolona).

Podstawowym przykładem szeregu funkcyjnego jest tzw. szereg geometryczny, czyli szereg postaci

Jest on zbieżny dla każdego do (sumy):

Jeżeli przyjąć dla jak wyżej, to powyższy szereg można zapisać w postaci

który jest już przykładem szeregu funkcyjnego.

Zbieżność Niech będzie przestrzenią unormowaną oraz będzie ciągiem funkcji określonych na pewnym zbiorze i o wartościach w przestrzeni

Zbieżność punktowa

Mówi się, że szereg jest zbieżny punktowo w zbiorze gdy dla każdego zbieżny jest szereg Innymi słowy wymaga się, by zbieżny był ciąg sum częściowych Określoną w ten sposób funkcję nazywa się sumą szeregu funkcyjnego

Zbieżność jednostajna

Szereg jest zbieżny jednostajnie wtedy i tylko wtedy, gdy ciąg sum częściowych jest zbieżny jednostajnie jako ciąg funkcyjny.

Dokładniej, szereg jest zbieżny jednostajnie w zbiorze do funkcji gdy od pewnego wyrazu norma sumy częściowej szeregu jest dowolnie mała dla wszystkich tzn. gdy dla dowolnej liczby istnieje taka liczba naturalna że dla wszystkich i dla wszystkich zachodzi nierówność

Do kryteriów zbieżności jednostajnej szeregów funkcyjnych zaliczają się kryterium Abela, kryterium Dirichleta, kryterium Weierstrassa.

Własności sumy szeregu zbieżnego jednostajnie – twierdzenie Weierstrassa Niech dany będzie szereg funkcyjny zbieżny jednostajnie w przedziale do funkcji Wówczas: jeżeli wszystkie wyrazy ciągu są ciągłe, to jego suma też jest funkcją ciągłą; jeżeli jest ciągiem funkcji różniczkowalnych mającym w tym przedziale ciągłe pochodne oraz szereg jest zbieżny jednostajnie, to funkcja jest różniczkowalna oraz

dla jeżeli ponadto wyrazy ciągu są funkcjami ciągłymi, określonymi w przedziale oraz szereg jest zbieżny jednostajnie w tym przedziale, to

Przykład Szereg

jest zbieżny punktowo do funkcji w przedziale jednak nie jest zbieżny jednostajnie; mimo to suma szeregu jest funkcją różniczkowalną (a zatem i ciągłą) w zadanym przedziale.

Bibliografia