thumb|Przypadek 1.: trzy proste mają wspólny punkt O wewnątrz ABC thumb|Przypadek 2.: trzy proste mają wspólny punkt O na zewnątrz ABC Twierdzenie Cevy – twierdzenie geometrii płaskiej sformułowane i udowodnione przez matematyka włoskiego Giovanniego Cevę w 1678 roku. Twierdzenie odwrotne jest prawdziwe i także zostało udowodnione przez Cevę. Jego uogólnieniem jest twierdzenie Ponceleta.
Treść Dany jest trójkąt oraz punkty Jeżeli trzy proste i przecinają się w jednym punkcie lub są równoległe, to:
Na drugim z rysunków będących ilustracjami twierdzenia widać, iż punkt przecięcia się prostych może leżeć poza trójkątem.
Dowód Przyjmijmy, że:
Wtedy:
oraz
Z tego wynika, że
Analogicznie:
Zatem:
Po skróceniu otrzymujemy:
ale
więc:
Twierdzenie odwrotne Twierdzenie odwrotne do twierdzenia Cevy jest prawdziwe przy dodatkowym założeniu, że proste i nie są równoległe. Załóżmy, że punkty i spełniają powyższe równanie. Na mocy dodatkowego założenia bez straty ogólności można założyć, że prosta nie jest równoległa do prostej Niech i przecinają się w i niech przecina w Z udowodnionej przed chwilą implikacji,
Z porównania dwóch ostatnich równań jest
Po dodaniu jedynki do obu stron i wykorzystaniu równości zachodzi
A więc czyli i pokrywają się (ponieważ na wspólnej półprostej o początku w ). A więc i przecinają się w
Zastosowania Twierdzenie Cevy i doń odwrotne mają wiele zastosowań w geometrii. Na przykład za pomocą twierdzenia odwrotnego do twierdzenia Cevy można łatwo dowieść, że w każdym trójkącie w jednym punkcie przecinają się wysokości, środkowe, dwusieczne (są to tzw. proste Cevy). Za pomocą twierdzenia odwrotnego do twierdzenia Cevy można także dowieść, że proste, łączące wierzchołki trójkąta z punktami styczności okręgu wpisanego, przecinają się w jednym punkcie (punkt taki nazywamy punktem Gergonne'a).
Twierdzenie Cevy dla czworościanu Niech oznaczają punkty czworościanu leżące odpowiednio wewnątrz odcinków Załóżmy, że płaszczyzny przecinają się w jednym punkcie. Wówczas zachodzi równość:
Dowód polega na zauważeniu, że punkt przecięcia płaszczyzn leży zarówno na prostej jak i które są przecięciami dwóch z tych płaszczyzn. Stąd wynika, że leżą na jednej płaszczyźnie, a z twierdzenia Menelaosa dla czworościanu – teza.
Twierdzenie odwrotne, mówiące że jeśli spełniona jest równość
to płaszczyzny przecinają się w jednym punkcie, jest również prawdziwe.
Zobacz też twierdzenie Menelaosa wersja trygonometryczna twierdzenia Cevy twierdzenie van Aubela
Przypisy
Linki zewnętrzne
Ceva theorem , Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-05-30].
Cevy Kategoria:Geometria afiniczna