Twierdzenie Lévy’ego-Steinitza – wielowymiarowy odpowiednik twierdzenia Riemanna o szeregach rzeczywistych. Naturalnym wydaje się pytanie, czy dla szeregu zespolonego zbieżnego warunkowo można tak przestawić jego wyrazy, aby nowy szereg był zbieżny do z góry zadanej liczby zespolonej lub rozbieżny. Tak nie jest, co pokazuje przykład szeregu
Twierdzenie Jeśli jest szeregiem zespolonym zbieżnym warunkowo, to istnieje prosta na płaszczyźnie zespolonej, taka że każdy jej punkt jest sumą szeregu przy pewnym przestawieniu jego wyrazów.
Prawdziwe jest również n-wymiarowe uogólnienie powyższego twierdzenia.
Twierdzenie Lévy’ego-Steinitza Zbiór sum powstałych przez zmianę porządku wyrazów szeregu n-wymiarowej przestrzeni euklidesowej jest albo zbiorem pustym, albo przesunięciem pewnej podprzestrzeni liniowej (tzn. dla szeregu zbiór jego sum jest postaci gdzie jest pewnym wektorem, a pewną podprzestrzenią liniową przestrzeni ).
Pierwszą próbę dowodu twierdzenia podjął Paul Lévy w 1905 r.P. Lévy, Sur les séries semi-convergentes, Nouv. An. d. Math., 64 (1905), strony 506-511. W roku 1913 Ernst Steinitz zauważył, że praca Lévy’ego jest niekompletna i uzupełnił lukę, jak również znalazł zupełnie nowe podejście i przeprowadził własny dowódE. Steinitz, Bedingt Konvergente Reihen and Konvexe Systeme, J. f. Math., 143 (1913), s. 128–175..
Uwagi W przestrzeniach Hilberta twierdzenie nie musi zachodzić. Pierwszy kontrprzykład podał Józef Marcinkiewicz, który był rozwiązaniem problemu z księgi szkockiejR.D. Mauldin ed., The Scottish Book, Birkhauser, Boston, 1981, strona 106..
Przypisy
Kategoria:Twierdzenia o szeregach