Pierścień topologiczny – pierścień w którym określona jest topologia o tej własności, że dodawanie jest ciągłe jako funkcja mnożenie jest ciągłe jako funkcja działanie jest ciągłe jako funkcja
Z definicji pierścienia topologicznego wynika, że grupa addytywna pierścienia jest grupą topologiczną. Jeżeli pierścień topologiczny jest ciałem oraz działanie jest ciągłe jako funkcja gdzie jest zbiorem elementów odwracalnych, to używa się w odniesieniu do niego nazwy ciało topologiczne.
Przykłady Naturalnymi przykładami pierścieni topologicznych są pierścienie (ciała) liczb rzeczywistych, zespolonych czy p-adycznych (z topologiami wprowadzonymi przez ich naturalne metryki). Pierścienie topologiczne pojawiają się w naturalny sposób w analizie. Do klasycznych przykładów można zaliczyć: pierścień wszystkich rzeczywistych (bądź zespolonych) funkcji ograniczonych określonych na pewnym zbiorze (z działaniami określonymi punktowo), pierścień wszystkich rzeczywistych funkcji ciągłych znikających w nieskończoności, określonych na przestrzeni lokalnie zwartej z topologią zbieżności niemal jednostajnej, pierścień wszystkich funkcji analitycznych określonych na pewnym obszarze płaszczyzny zespolonej z topologią zbieżności niemal jednostajnej. W szczególności, każda algebra topologiczna (a więc każda algebra Banacha) jest pierścieniem topologicznym.
Własności Produkt dowolnej rodziny pierścieni topologicznych jest pierścieniem topologicznym (z topologią Tichonowa). Ogólniej: Niech będzie rodziną pierścieni topologicznych oraz niech będzie dowolnym pierścieniem. Jeżeli jest taką rodziną funkcji, że dla każdego funkcja jest homomorfizmem to pierścień wyposażony w topologię wprowadzoną przez rodzinę przekształceń jest pierścieniem topologicznym. Składowa spójności zera pierścienia topologicznego jest domkniętym ideałem w oraz zbiór jest składową spójności elementu tego pierścienia. Wynika z powyższego, że topologia pierścienia topologicznego, który nie ma właściwych domkniętych ideałów jest albo Hausdorffa i spójna albo Hausdorffa i totalnie niespójna albo antydyskretna. W szczególności, własność tę mają topologie pierścieni topologicznych z dzieleniem. W lokalnie zwartym i totalnie niespójnym pierścieniu topologicznym wszystkie zwarte i otwarte podpierścienie tworzą układ fundamentalny otoczeń zera.
Przypisy
Bibliografia
Linki zewnętrzne Topological ring , Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-04-05].
Kategoria:Rodzaje pierścieni Kategoria:Algebra topologiczna