mały|Bieguny funkcji Gamma|249x249px
Biegun funkcji meromorficznej – taki punkt osobliwy funkcji meromorficznej, w którego otoczeniu funkcja ta nie jest ograniczona, zaś w punkcie przyjmuje wartość nieskończoną, tj. lub
Ponadto: a). jeśli część osobliwa rozwinięcia w szereg Laurenta wokół punktu składa się z wyrazów, to biegun ten jest rzędu b). jeśli , to punkt jest punktem istotnie osobliwym, tzn. nie istnieje granica
Uwaga: Brak granicy występuje, gdy funkcja przyjmuje różne wartości przy zbliżaniu się do punktu osobliwego. Jedną z możliwości jest rozbieżność analogiczna jak funkcji rzeczywistych, gdzie istnieją różne granice lewo- i prawostronna; np. funkcja nie ma granicy w punkcie x=0, gdyż , zaś
Twierdzenia o biegunach i zerach funkcji f oraz 1/f Tw. 1 Jeśli punkt a jest biegunem -krotnym funkcji , to funkcja jest również meromorficzna i w punkcie posiada zero -krotne. Odwrotnie, jeśli punkt jest zerem -krotnym funkcji, to funkcja w tym punkcie posiada biegun -krotny.
Tw. 2 Jeśli punkt jest biegunem -krotnym funkcji to funkcja jest również meromorficzna i w punkcie posiada zero -krotne.
Przykłady Przykład 1: Funkcja w punktach ma bieguny rzędu 1. Przykład 2: Funkcja
a) Bieguny: w punkcie ma biegun rzędu 2, natomiast w punkcie ma biegun jednokrotny.
b) Zera: Aby obliczyć zera tej funkcji, sprowadzamy ułamki do wspólnego mianownika; po przekształceniach otrzymamy:
Rozwiązując równanie kwadratowe, występujące w liczniku, otrzymamy
gdzie: , - zera funkcji c) Funkcja odwrócona: Postać funkcji łatwo znaleźć zamieniając miejscami licznik i mianownik funkcji
Stąd widać, że funkcja ma zera tam, gdzie funkcja ma bieguny i odwrotnie - tam, gdzie funkcja ma bieguny, tam funkcja ma zera. Krotności zer i odpowiadających im biegunów obu funkcji są identyczne.
Bibliografia Wojciech Żakowski, Wacław Leksiński, Rozdział III. Funkcje zmiennej zespolonej [w:] Matematyka cz. IV, Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, Warszawa 1978, , s. 233–350.
Linki zewnętrzne [dostęp 2025-07-22]. Pole (of a function) , Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2025-07-22].
Kategoria:Analiza zespolona