Twierdzenie Hahna-Banacha – podstawowe twierdzenie analizy funkcjonalnej sformułowane i udowodnione niezależnie przez Hansa Hahna i Stefana Banacha w latach 20. XX wieku.

Twierdzenie to mówi o możliwości rozszerzenia ograniczonych funkcjonałów liniowych z podprzestrzeni przestrzeni unormowanej na całą przestrzeń, a także o bogatej strukturze przestrzeni sprzężonej.

Twierdzenie Niech (a) będzie przestrzenią liniową nad ciałem liczb rzeczywistych (b) będzie funkcjonałem podaddytywnym i dodatnio jednorodnym, tzn. dla wszystkich dla wszystkich i (c) będzie podprzestrzenią liniową przestrzeni (d) będzie takim odwzorowaniem liniowym, że dla wszystkich

Wówczas istnieje taki funkcjonał liniowy że

dla wszystkich oraz

dla wszelkich

Uwagi o dowodzie Zwykle dowód twierdzenia Hahna-Banacha jest budowany przy użyciu lematu Kuratowskiego-Zorna, choć niektórzy autorzy podają dowody indukcyjne (dowody podane przez Hahna w 1927 i Banacha w 1929 roku były właśnie indukcyjne). Przy pomocy twierdzenia Hahna-Banacha można udowodnić paradoks Banacha-TarskiegoJanusz Pawlikowski, The Hahn-Banach theorem implies the Banach-Tarski paradox. „Fundamenta Mathematicae” 138 (1991)., więc każdy dowód twierdzenia Hahna-Banacha wymaga pewnej formy aksjomatu wyboru. Aksjomat o wyborach zależnych wystarczy dla dowodu twierdzenia Hahna-Banacha dla przestrzeni ośrodkowych. Twierdzenie o rozszerzaniu filtrów do ultrafiltrów wystarczy do udowodnienia twierdzenia Hanha-Banacha w pełnej ogólności, ale to ostatnie twierdzenie nie implikuje, że każdy filtr jest zawarty w filtrze maksymalnym.

Wnioski

Jeżeli jest rzeczywistą przestrzenią liniową, a funkcjonał spełnia warunek (b), to dla każdego istnieje taki funkcjonał liniowy że oraz dla Załóżmy, że (a) jest przestrzenią liniową nad ciałem liczb rzeczywistych lub zespolonych, a jest półnormą (b) jest podprzestrzenią liniową, oraz jest funkcjonałem liniowym takim, że dla wszystkich Wówczas istnieje funkcjonał liniowy taki, że oraz dla wszystkich

Jeśli jest przestrzenią unormowaną, jest jej podprzestrzenią liniową oraz to istnieje taki, że oraz Twierdzenie o wydobywaniu normy: Jeśli jest niezdegenerowaną przestrzenią unormowaną oraz to dla pewnego takiego, że Ponadto

Jeśli jest przestrzenią unormowaną, jest jej domkniętą podprzestrzenią liniową oraz to istnieje taki, że oraz

Twierdzenia o oddzielaniu. Stosując twierdzenie Hahna-Banacha, można udowodnić istnienie granicy Banacha i funkcjonału Banacha.

Modyfikacje twierdzenia Hahna-Banacha Idea przedłużania odwzorowań z podprzestrzeni na całą przestrzeń z zachowaniem pewnych szczególnych własności, zawarta w twierdzeniu Hahna-Banacha, została przeniesiona także na inne przypadki przestrzeni czy odwzorowań. Na przykład:

Twierdzenie Krejna Niech będzie stożkiem wypukłym w rzeczywistej przestrzeni liniowo-topologicznej o niepustym wnętrzu. Jeżeli jest podprzestrzenią liniową przestrzeni oraz jest funkcjonałem liniowym takim, że

to istnieje funkcjonał liniowy taki, że

oraz

Zobacz też twierdzenie Krejna-Milmana twierdzenie o rozszerzaniu miary

Przypisy

Bibliografia William Arveson, The Noncommutative Hahn-Banach theorems, . Mark Aronovich Naimark, Normed Rings, Wolters-Noordhoff, Groningen 1970, s. 63. Gerd Wittstock, Ein operatorwertiger Hahn-Banach Satz, J. Funct. Anal. 40 (1981), s. 127–150.

Hahna-Banacha