Twierdzenie Hilberta o bazie – twierdzenie mówiące, że każdy ideał w pierścieniu wielomianów nad pierścieniem noetherowskim jest skończenie generowany. W języku geometrii algebraicznej można to wypowiedzieć następująco: każdy zbiór algebraiczny nad ciałem może być opisany jako zbiór wspólnych pierwiastków skończonej liczby wielomianów; wyd. ros., Moskwa 1976, s. 439–444..
Twierdzenie to zostało udowodnione przez Davida Hilberta w przypadku szczególnym pierścienia wielomianów nad ciałem przy okazji dowodu twierdzenia o skończonej generowalności pierścienia niezmienników. Dowód Hilberta był niekonstruktywny i wykorzystywał indukcję matematyczną; nie wskazywał algorytmu wyodrębniania skończonej bazy wielomianów dla danego ideału; pokazywał jedynie, że baza taka istnieje. Konstruktywna metoda znajdowania skończonej bazy wielomianów oparta jest na bazie Gröbnera.
Inne (równoważne) sformułowania twierdzenia Hilberta o bazie
Sformułowanie 1
Niech będzie pierścieniem wielomianów zmiennych o współczynnikach z pierścienia . Jeśli jest pierścieniem noetherowskim, to również jest pierścieniem noetherowskim; wyd. ros., Moskwa 1972, s. 99–102.Jerzy Rutkowski, Algebra abstrakcyjna w zadaniach, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2006, , s. 178, Twierdzenie 62. [dostęp 2025-12-04]..
Sformułowanie 2
Jeśli każdy ciąg rosnący ideałów pierścienia jest skończony, to również każdy ciąg rosnący ideałów pierścienia jest skończony.
Przypisy
Bibliografia
Hilberta o bazie