Idempotentność

IdempotentnośćOd łac. idempotent-: idem, „taki sam, równy” i potens, „mający moc, siłę” od potis, pote, „móc”; spokr. z gr. πόσις posis, „małżonek”, sanskr. पित pati, „mistrz, małżonek”. – właściwość pewnych operacji, która pozwala na ich wielokrotne stosowanie bez zmiany wyniku.

Pojęcie idempotentności pojawia się wielokrotnie w algebrze (w szczególności w teorii rzutów i operatorów domknięcia) oraz programowaniu funkcyjnym (w którym ma ono związek z przejrzystością referencyjną).

Termin wprowadził Benjamin Peirce w kontekście elementów algebry, które są niezmiennicze ze względu na potęgowanie.

Istnieje kilka znaczeń idempotentności w zależności od pojęcia, do którego się odnoszą: Działanie jednoargumentowe (lub funkcja) jest idempotentne, jeżeli zastosowana dwukrotnie daje ten sam wynik, co zastosowana jednokrotnie. Przykładowo funkcja wartości bezwzględnej jest idempotentna jako funkcja zbioru liczb rzeczywistych w siebie: Działanie dwuargumentowe jest idempotentne, gdy zastosowane do dwóch równych wartości daje ją w wyniku. Przykładem może być działanie brania maksimum dwóch wartości, które jest idempotentne: Dla danego działania dwuargumentowego elementem idempotentnym, lub krótko idempotentem, względem tego działania jest wartość, dla której dana na obu argumentach zostaje zwrócona jako wynik. Przykładem jest liczba będąca idempotentem mnożenia:

Definicje Działania jednoargumentowe

Działanie jednoargumentowe tzn. funkcję danego zbioru w siebie, nazywa się idempotentną, jeśli dla każdego zachodzi

W szczególności funkcja tożsamościowa określona wzorem jest idempotentna, podobnie jak funkcja stała gdzie dana wzorem

Ważną klasą funkcji idempotentych są rzuty w przestrzeni liniowej. Przykładowo rzutem jest funkcja dana wzorem która rzutuje dowolny punkt przestrzeni trójwymiarowej na punkt płaszczyzny gdyż trzecia współrzędna jest równa

Działanie jednoargumentowe jest idempotentne wtedy i tylko wtedy, gdy odwzorowuje wszystkie elementy zbioru na punkty stałe. Dla zbioru -elementowego istnieje

funkcji idempotentnych, gdzie

jest liczbą funkcji idempotentnych o dokładnie punktach stałych. Początkowymi wyrazami ciągu liczby funkcji idempotentnych danego przez powyższą sumę są: 1, 1, 3, 10, 41, 196, 1057, 6322, 41393,…

Działania dwuargumentowe

Dwuargumentowe działanie na zbiorze nazywa się idempotentnym, jeżeli dla wszystkich zachodzi

Przykładami działań idempotentnych mogą być działania sumy zbiorów i iloczynu zbiorów, a także działania koniunkcji logicznej i dysjunkcji logicznej oraz, w ogólności, działania kresu dolnego i górnego w kratach.

Element nazywa się idempotentnym lub idempotentem, jeżeli zachodzi dla niego równość

W szczególności idempotentem działania jest jego element neutralny.

Powiązania Powyższe trzy pojęcia można przedstawić następująco: Twierdzenie, iż działanie dwuargumentowe na zbiorze jest idempotentne jest równoważne żądaniu, by każdy element zbioru był idempotentny względem Własność definiująca idempotentności jednoargumentowej można zapisać za pomocą operacji złożenia funkcji w następujący sposób: W ten sposób twierdzenie, że jest jednoargumentowym działaniem idempotentnym na jest równoważne stwierdzeniu, że jest elementem idempotentnym działania na zbiorze funkcji

Przykłady Jak wspomniano wyżej, przekształcenia tożsamościowe i stałe są idempotentne. Idempotentne są również funkcje wartości bezwzględnej zmiennej rzeczywistej i zespolonej oraz funkcja podłogi i sufitu zmiennej rzeczywistej.

Funkcja przypisująca każdemu podzbiorowi przestrzeni topologicznej jej domknięcie jest idempotentna na zbiorze potęgowym zbioru Jest to przykład operatora domknięcia; własność idempotentności cechuje wszystkie operatory domknięcia. Idempotentne są również działania wnętrza oraz k-rozszerzenia.

Języki formalne Operatory gwiazdka i plus Kleene’ego wykorzystywane w językach formalnych do wyrażania powtórzeń są idempotentne.

Idempotentne elementy pierścienia

Element idempotentny pierścienia to, z definicji, element idempotentny względem mnożenia w pierścieniu. Innymi słowy element jest idempotentny, gdy W zbiorze idempotentów pierścienia można zadać porządek częściowy w następujący sposób: jeśli i są idempotentami, to

W porządku tym jest najmniejszym, a – największym idempotentem.

Dwa idempotenty nazywa się ortogonalnymi i oznacza jeżeli Wówczas również jest idempotentny i zachodzi oraz

Jeśli jest idempotentem pierścienia to jest nim także wówczas pierścień również jest pierścieniem z jedynką nazywa się go centralnym, o ile tylko dla wszystkich zachodzi wówczas jest pierścieniem z jedynką

Idempotenty centralne są blisko związane z rozkładami na sumy proste pierścieni. Jeśli

to jedynki pierścieni są parami ortogonalnymi idempotentami centralnymi w których suma jest równa Odwrotnie, dla danych parami ortogonalnych idempotentów centralnych sumujących się do zachodzi

W szczególności idempotent centralny daje więc rozkład na sumę prostą

Dowolny idempotent różny od i jest dzielnikiem zera, gdyż W związku z tym dziedziny całkowitości i pierścienie z dzieleniem nie mają takich idempotentów. Pierścienie lokalne również nie mają tego rodzaju idempotentów, ale z innego powodu: jedynym idempotentem zawartym w radykale Jacobsona pierścienia jest Istnieje katenoida idempotentów w pierścieniu kokwaternionów.

Pierścienie, których wszystkie elementy są idempotentne nazywa się pierścieniami Boole’a. Można pokazać, że w każdym takim pierścieniu mnożenie jest przemienne, a każdy element swoim elementem przeciwnym.

Związek z inwolucjami Jeśli jest idempotentem, to jest inwolucją.

Jeśli jest idempotentem, to jest idempotentem i są one swoimi odwrotnościami: stąd jeśli jest odwracalna w danym pierścieniu, to idempotenty i inwolucje są pojęciami równoważnymi.

Więcej, jeżeli jest inwolucją, to i są idempotentami ortogonalnymi odpowiadającymi i

Informatyka W informatyce idempotentność jest własnością operacji pozwalającą na jej wielokrotne powtarzanie bez zmiany wyniku lub powodowania błędu. Taką cechę ma np. operacja czytania.

Przykłady Programista aplikacji internetowych powinien zadbać o idempotentność wykonywanych przez serwer operacji, nie dopuszczając np. do kolejnego zakupu identycznego wyrobu w sklepie internetowym po odświeżeniu strony. Jedną z metod jest wprowadzenie tokenu synchronizującego, który jest inkrementowany przy każdym zapytaniu od klienta i np. jako ciasteczko przesyłany wraz z odpowiedzią do klienta. Jeśli token otrzymany od klienta jest różny od tokena zapamiętanego na serwerze, oznacza to że nastąpiło rozsynchronizowanie, np. klient odświeżył stronę.

Standardowo uważa się metody GET i HEAD protokołu HTTP za idempotentne, więc przeglądarki internetowe nie wyświetlają żadnego ostrzeżenia w przypadku odświeżania strony za pomocą metody GET. Stąd poleca się implementację operacji zmieniających stan sesji klienta za pomocą metody POST.

Zobacz też

element nilpotentny macierz idempotentna

Uwagi

Przypisy

Bibliografia

Linki zewnętrzne

Idempotent , Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org, [dostęp 2023-10-10].

Kategoria:Własności relacji dwuczłonowych Kategoria:Algebraiczne własności elementów Kategoria:Terminologia informatyczna