Twierdzenie Gerszgorina – twierdzenie pozwalające nałożyć ograniczenia na wartości własne macierzy o współczynnikach rzeczywistych lub zespolonych. Po raz pierwszy zostało opublikowane w roku 1931 przez matematyka pochodzenia białoruskiego, Siemiona Gerszgorina.
Treść twierdzenia oraz dowód Niech będzie kwadratową macierzą zespoloną o rozmiarze z elementami Dla niech gdzie oznacza moduł z liczby Niech będzie domkniętym kołem o środku w i promieniu Takie koła są nazywane kołami Gerszgorina.
Twierdzenie Gerszgorina: każda wartość własna macierzy leży wewnątrz lub na brzegu przynajmniej jednego z kół
Dowód: Niech będzie wartością własną oraz odpowiadającym jej wektorem własnym. Niech będzie takie, iż Wtedy gdyż w przeciwnym wypadku co nie może zajść dla wektorów własnych (nie są one wektorami zerowymi). Z równania na wartości własne macierzy mamy lub równoważnie (rozpisując zapis macierzowo-wektorowy):
obustronnie odejmując dostajemy:
I dzielimy obustronnie przez (z wyboru i wiemy, że ), a także obkładamy modułami:
Ostatnia nierówność jest poprawna, gdyż z warunku mamy
□
Ponieważ wartości własne macierzy są takie same jak macierzy twierdzenie to można wzmocnić – wszystkie wartości własne macierzy muszą leżeć na przecięciu sumy kół Gerszgorina macierzy i sumy kół dla macierzy
W szczególnym przypadku dla macierzy diagonalnej mamy, że wartości własne muszą być równe elementom leżącym na głównej przekątnej.
Bibliografia S. Gerschgorin, Über die Abgrenzung der Eigenwerte einer Matrix, „Izv. Akad. Nauk. USSR Otd. Fiz.-Mat. Nauk” 7 (1931), s. 749–754. R.S. Varga, Geršgorin and His Circles, Berlin: Springer-Verlag, 2004. . Errata. Andrzej Turowicz, Geometria zer wielomianów, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1967.
Linki zewnętrzne
Semyon Aranovich Gershgorin biography at MacTutor
Kategoria:Twierdzenia o macierzach kwadratowych