Operator Laplace’a, laplasjan – operator różniczkowy drugiego rzędu, wprowadzony przez Pierre’a Simona de Laplace’a. W układzie kartezjańskim 3-wymiarowym ma postać:
Operator ten uogólnia się na przestrzenie euklidesowe -wymiarowe z dowolnymi układami współrzędnych krzywoliniowych (w tym ze współrzędnymi kartezjańskimi) oraz na dowolne przestrzenie riemannowskie i pseudoriemannowskie.
Zastosowania (1) Operator Laplace’a występuje w wielu równaniach fizyki, np. w równaniu przewodnictwa cieplnego w równaniu falowym jako część hamiltonianu jako przestrzenna składowa operatora d’Alemberta
(2) W teorii prawdopodobieństwa laplasjan jest generatorem procesu Wienera.
Operator Laplace’a – współrzędne kartezjańskie Definicja operatora Laplace’a w -wymiarowym układzie kartezjańskim
Operator Laplace’a – ortogonalne współrzędne krzywoliniowe (1) Operator Laplace’a w -wymiarowym ortogonalnym krzywoliniowym układzie współrzędnych ma postać
gdzie: – współrzędne krzywoliniowe, – współczynniki Lamego, tj.
gdzie: – wyrazy diagonalne kowariantnego tensora metrycznego we współrzędnych krzywoliniowych.
Zauważmy, że współczynniki Lamego są w ogólności funkcjami współrzędnych (por. przykład poniżej), dlatego nie można ich przesunąć przed pochodną w powyższym wzorze. Powyższy wzór wyprowadza się wychodząc od definicji operatora Laplace’a w układzie kartezjańskim i dokonując podstawienia pod współrzędne kartezjańskie zależności funkcyjne od innych zmiennych.
(2) W szczególności w układzie 3-wymiarowym mamy
czyli
Współrzędne sferyczne Z powyższego ogólnego wzoru można otrzymać w szczególności postać operatora Laplace’a w układzie współrzędnych sferycznych
lub
Współrzędne walcowe Z ogólnego wzoru można otrzymać postać operatora Laplace’a w układzie współrzędnych walcowych
Przykład: Obliczenie operatora Laplace’a z ogólnego wzoru Pokażemy tu, jak obliczyć operator Laplace’a we współrzędnych sferycznych, wychodząc od ogólnego wzoru.
Współrzędne sferyczne są związane ze współrzędnymi kartezjańskimi za pomocą zależności
Kowariantny tensor metryczny ma postać (patrz: tensor metryczny- przykłady)
zatem współczynniki Lamego są następujące
Wstawiając powyższe współczynniki Lamego do ogólnego wzoru na laplasjan w -wymiarowym krzywoliniowym układzie współrzędnych i wykonując różniczkowanie otrzymuje się szukany wzór
Operator Laplace’a – dowolne współrzędne krzywoliniowe Operator Laplace’a w -wymiarowym krzywoliniowym układzie współrzędnych ma postać
(1) ogólny wzór
(2) z użyciem symboli
gdzie: – odwrotny tensor metryczny, – symbole Christoffela układu krzywoliniowego.
(3) z użyciem odwrotnego tensora metrycznego
gdzie: – wyznacznik tensora metrycznego.
(patrz równanie Voss-Weyla dotyczące dywergencji)
Związek operatora Laplace’a z gradientem i dywergencją Słuszne są następujące twierdzenia:
Tw. 1 Laplasjan funkcji skalarnej jest równy dywergencji z gradientu tej funkcji
lub równoważnie
Tw. 2 Laplasjan funkcji wektorowej wyraża się przez operatory gradientu i rotacji
lub równoważnie
Tw. 3 Laplasjan iloczynu funkcji skalarnych oblicza się według poniższego wzoru
lub równoważnie
Działanie operatora Laplace’a na funkcję wektorową Operator Laplace’a działając na funkcję wektorową zapisaną w układzie kartezjańskim w postaci
tworzy wektor, którego współrzędnymi są wielkości obliczone z funkcji współrzędnych tej funkcji wektorowej, tj.
lub równoważnie
W innych układach współrzędnych działanie operatora Laplace’a wyraża się bardziej złożonymi wzorami.
Zobacz też
zagadnienie własne dla operatora Laplace’a
Operatory różniczkowe
(1) Operatory różniczkowe 4-wymiarowej czasoprzestrzeni Minkowskiego czterowektor (tu m.in. na temat iloczynu skalarnego 4-wektorów) czterogradient operator d’Alemberta
(2) Operatory różniczkowe 3-wymiarowej przestrzeni Euklidesowej dywergencja gradient operator nabla operator nabla w różnych układach współrzędnych rotacja
(3) Operatory różniczkowe w n-wymiarowej rozmaitości pseudoriemannowskiej dywergencja na rozmaitości gradient na rozmaitości operator Laplace’a na rozmaitości
Przypisy
Bibliografia F.W. Byron, R.W. Fuller, Matematyka w fizyce klasycznej i kwantowej, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1975, Tom 1.
Linki zewnętrzne Laplace operator , Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-10-05].
Kategoria:Analiza matematyczna Kategoria:Fizyka matematyczna