Funkcjonał – wieloznaczne pojęcie matematyczne, opisujące różne klasy odwzorowań (przekształceń). Funkcjonały przeważnie definiuje się przez odpowiednią przeciwdziedzinę, ale czasem też przez dziedzinę w sensie zbioru argumentów. Według różnych autorów funkcjonał to odwzorowanie: o wartościach liczbowych; o wartościach liczbowych i na zbiorze funkcjiArgumentem tak rozumianego funkcjonału jest funkcja, dlatego czasem funkcjonały nazywa się funkcjami funkcji. Analogicznym pojęciem w informatyce jest funkcja wyższego rzędu.; rzeczywiste lub zespolone określone na dowolnym zbiorze Functional , Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org, [dostęp 2023-12-22].; rzeczywiste lub zespolone na dowolnym zbiorze funkcjiHasło funkcjonał [w:] Encyklopedia popularna PWN, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1982, , s. 223.; z przestrzeni liniowej w ciało jej skalarów; powyższego typu będące jednocześnie przekształceniem liniowym; rzeczywiste na przestrzeni liniowej [dostęp 2023-12-23]. nad ciałem liczb rzeczywistych; rzeczywiste na przestrzeni Banacha lub jej podzbiorze.
Trzecie ani czwarte znaczenie nie są rozłączne z piątym, ponieważ: funkcję rzeczywistą lub zespoloną można określić na przestrzeni liniowej ze skalarami rzeczywistymi lub zespolonymi; przestrzenią tą może być przestrzeń funkcyjna.
Funkcjonał w szóstym znaczeniu to inaczej forma, przy czym termin ten miewa też inne znaczenie. Tak rozumiany funkcjonał (forma) to szczególny przypadek operatora, czyli przekształcenia, które funkcji przyporządkowuje inną funkcję (np. operator różniczkowy funkcji przypisuje jej funkcję pochodną).
Pojęcie funkcjonału pierwotnie pojawiło się w rachunku wariacyjnym, który polega na znajdowaniu ekstremum funkcjonału, zwanego działaniem Hamiltona (tzw. zasada najmniejszego działania). Szczególnie istotnym zastosowaniem w fizyce jest znajdowanie stanu układu, dla którego funkcjonał energii osiąga minimum.
Przykłady Dualność
(1) Funkcja
przekształca argument na wartość funkcji w punkcie
(2) Możliwe jest przyporządkowanie danej funkcji całej rodziny funkcji, takiej że poszczególne funkcje zależą od argumentu tj.
Jeśli jest przekształceniem liniowym z przestrzeni wektorowej w ciało skalarne, nad którym rozpięta jest ta przestrzeń, to przekształcenie wyznaczone przez dany argument odwzorowaniem wzajemnie jednoznacznym pomiędzy argumentem a funkcją – funkcję – nazywa się wtedy dualną do funkcji a obydwie funkcje są funkcjonałami liniowymi.
Całka oznaczona
Całki postaci
gdzie: – funkcja o wartościach rzeczywistych,
tworzy pewną klasę funkcjonałów przekształcających funkcję na liczbę rzeczywistą.
W szczególności należą do tej klasy: pole pod wykresem nieujemnej funkcji
p-ta norma funkcji całkowalnej
długość krzywej na płaszczyźnie
Iloczyn skalarny
Dla danego wektora z przestrzeni wektorowej iloczyn skalarny z wektorem oznaczony lub jest skalarem. Dlatego wyznacza funkcjonał:
Równanie funkcyjne
Rozwiązaniami równania funkcyjnego postaci są funkcje, dla których wartości funkcjonałów i są równe. Na przykład funkcja jest addytywna, jeśli spełnia równanie funkcyjne:
Pochodna funkcjonalna i całka funkcjonalna Pochodna funkcjonalna niesie informację o zmianie wartości funkcjonału przy niewielkiej zmianie funkcji będącej jego argumentem. Pochodne funkcjonalne używane są w mechanice klasycznej i rachunku wariacyjnym.
Richard Feynman zastosował całki funkcjonalne w swoim sformułowaniu mechaniki kwantowej. Zastosowanie to przewiduje całkowanie nad pewną przestrzenią funkcyjną.
Forma a funkcjonał W literaturze matematycznej istnieje spora niekonsekwencja w użyciu terminów forma i funkcjonał:
(1) Gleichgewicht wyraźnie rozróżnia termin funkcjonał od określenia forma. Ten ostatni termin oznacza w jego książce formułę, wyrażenie formalne. I tak, na przykład, pisze on: [...] napiszemy wzór (10.1) w postaci
zwanej formą liniową, [...]
a potem (10.4) [...] Prawa strona wyrażenia (10.4) nazywa się formą dwuliniową.
Należy też zwrócić uwagę, że same przekształcenia w ciało (np. powyżej) są konsekwentnie określane jako funkcjonały.
(2) Lang używa określenia funkcjonał na odwzorowania liniowe z przestrzeni wektorowej (nad ciałem ) w ciało Słowo forma jest używane tu dla odwzorowań wieloliniowych oraz kwadratowych (tzn. mówi się w tej książce o formach wieloliniowych, formach kwadratowych itd.).
Natomiast Komorowski (1978) używa jedynie określenia forma, pisząc: Elementy przestrzeni nazywamy formami liniowymi na często, kiedy nie prowadzi to do nieporozumień, formy liniowe nazywa się krótko formami.
W kolejnym rozdziale Komorowski wprowadza następującą definicję: Elementy p.w. nazywamy formami n-liniowymi.
(3) Musielak (1976) pisze: [...] operator liniowy nazywamy funkcjonałem liniowym lub formą liniową.
Jednak w pozostałych częściach tekstu używa on głównie zwrotu funkcjonał liniowy.
Zobacz też dystrybucja forma liniowa forma półtoraliniowa forma dwuliniowa forma kwadratowa
Uwagi
Przypisy
Bibliografia
Literatura dodatkowa
Kategoria:Typy funkcji matematycznych
Kategoria:Analiza funkcjonalna