Całka Bochnera – rozszerzenie pojęcia całki oznaczonej o funkcje przybierające wartości w przestrzeni Banacha. Wprowadzona w 1933 roku przez Salomona Bochnera.
Definicja Niech będzie przestrzenią z miarą, oraz niech będzie przestrzenią Banacha. Funkcję nazywamy uogólnioną funkcją prostą, gdy zbiór jest przeliczalny oraz dla każdego Funkcję nazywamy całkowalną w sensie Bochnera, gdy istnieje taki ciąg uogólnionych funkcji prostych że dla -p.w.
Jeżeli jest całkowalna w sensie Bochnera, to punkt
określony wzorem
gdzie jest dowolnym ciągiem uogólnionych funkcji prostych o własnościach 2. i 3., nazywamy całką Bochnera funkcji względem miary
Charakteryzacja klasy funkcji całkowalnych w sensie Bochnera Niech Każde z następujących zdań jest równoważne: jest całkowalna w sensie Bochnera. jest -mierzalna i spełniony jest warunek 1. Istnieje ciąg -mierzalnych uogólnionych funkcji prostych i taki podzbiór -mierzalny że oraz ciąg jest jednostajnie zbieżny do funkcji i spełnione są warunki 2. i 3.
Własności Wiele właściwości całki Lebesgue występuje również dla całki Bochnera. Przykładem jest kryterium całkowalności w sensie Bochnera, które mówi, że jeśli jest miarą skończoną, to funkcja jest całkowalna w sensie Bochnera wtedy i tylko wtedy, gdy
Jeżeli funkcja jest całkowalna w sensie Bochnera, to jest całkowalna w sensie Pettisa i obie całki są równe.
Bibliografia
(now published by springer Verlag)
Linki zewnętrzne Bochner integral , Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2025-04-23].
Bochnera Kategoria:Teoria miary Kategoria:Przestrzenie Banacha